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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:38 Do 10.11.2011 | | Autor: | jebote |
| Aufgabe 1 | Ein endliches Mengensystem [mm] \mathcal{P} [/mm] = [mm] \{P_{1},...,P_{N}\} \subset \mathcal{B}(X) [/mm] heißt endliche Partition von X, wenn [mm] P_{k}\cap P_{j}=\emptyset [/mm] für [mm] k\not=j, [/mm] sowie [mm] \bigcup_{k=1}^{N}P_{k}=X. [/mm] Es soll hier zudem [mm] P_{k}\not= \emptyset [/mm] für [mm] 1\le k\le [/mm] N angenommen werden.
Zeigen Sie: Eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \mathcal{F} \subset \mathcal{B}(X) [/mm] ist genau dann endlich, wenn es eine endliche Partition [mm] \mathcal{P} [/mm] von X gibt mit [mm] \sigma(\mathcal{P})=\mathcal{F}.
[/mm]
In welchem Verhältnis stehen die Anzahlen der Elemente von [mm] \mathcal{F} [/mm] und der dazugehörigen Partition [mm] \mathcal{P}? [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Es sei X überabzählbar, und es sei [mm] \mathcal{F} [/mm] die [mm] \sigma-Algebra [/mm] derjenigen Mengen, die entweder abzählbar sind oder die ein abzählbares Komplement haben. Zeigen Sie, dass die Zuordnung [mm] \mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } A \mbox{ abzählbar} \\ 1, & \mbox{für } A \mbox{ überabzählbar} \end{cases} [/mm] |
| Aufgabe 3 | Ein Maß ist bekanntlich stetig von oben, sofern es endlich ist.
Es sei [mm] \xi [/mm] das Zählmaß auf [mm] (\IN, \mathcal{B}(\IN)). [/mm] Geben Sie eine fallende Folge [mm] (A_{n}) [/mm] in [mm] \mathcal{B}(\IN) [/mm] an, so dass [mm] (lim_{n} \xi(A_{n}) [/mm] existiert und) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\xi(A_{n})\not=\xi(\bigcap_{n}(A_{n}) [/mm] |
Da ich von meinem Tutor wirklich überhaupt keine Tipps bekomme, wie ich wenigestens bisschen an die Aufgabe rangehen kann, hoffe ich, dass mir hir jemand, ein wenig auf die Sprünge helfen kann.
Aufgabe 2 scheint nicht so schwer zu sein, da muss ich nur die Maßeigenschaften überprüfen, muss ich da etwas beachten (knifflige Stelle z.B.?)
Zu 1.)Da bin ich wirklich völlig ahnungslos was für einen Ansatz ich nehmen soll.
Zu 3.)Die Maßeigenschaften benutzen, um auf den Widerspruch zu kommen? (Ist es hier günstig paarweise disjunkte Mengen zu nehmen?)
Ich danke euch schonmal im voraus für die Mühe. :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ein endliches Mengensystem [mm]\mathcal{P}[/mm] =
> [mm]\{P_{1},...,P_{N}\} \subset \mathcal{B}(X)[/mm] heißt endliche
> Partition von X, wenn [mm]P_{k}\cap P_{j}=\emptyset[/mm] für
> [mm]k\not=j,[/mm] sowie [mm]\bigcup_{k=1}^{N}P_{k}=X.[/mm] Es soll hier zudem
> [mm]P_{k}\not= \emptyset[/mm] für [mm]1\le k\le[/mm] N angenommen werden.
> Zeigen Sie: Eine [mm]\sigma[/mm] -Algebra [mm]\mathcal{F} \subset \mathcal{B}(X)[/mm]
> ist genau dann endlich, wenn es eine endliche Partition
> [mm]\mathcal{P}[/mm] von X gibt mit
> [mm]\sigma(\mathcal{P})=\mathcal{F}.[/mm]
> In welchem Verhältnis stehen die Anzahlen der Elemente
> von [mm]\mathcal{F}[/mm] und der dazugehörigen Partition
> [mm]\mathcal{P}?[/mm]
> Es sei X überabzählbar, und es sei [mm]\mathcal{F}[/mm] die
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] derjenigen Mengen, die entweder abzählbar
> sind oder die ein abzählbares Komplement haben. Zeigen
> Sie, dass die Zuordnung [mm]\mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } A \mbox{ abzählbar} \\ 1, & \mbox{für } A \mbox{ überabzählbar} \end{cases}[/mm]
>
> Ein Maß ist bekanntlich stetig von oben, sofern es endlich
> ist.
> Es sei [mm]\xi[/mm] das Zählmaß auf [mm](\IN, \mathcal{B}(\IN)).[/mm]
> Geben Sie eine fallende Folge [mm](A_{n})[/mm] in [mm]\mathcal{B}(\IN)[/mm]
> an, so dass [mm](lim_{n} \xi(A_{n})[/mm] existiert und)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\xi(A_{n})\not=\xi(\bigcap_{n}(A_{n})[/mm]
> Da ich von meinem Tutor wirklich überhaupt keine Tipps
> bekomme, wie ich wenigestens bisschen an die Aufgabe
> rangehen kann, hoffe ich, dass mir hir jemand, ein wenig
> auf die Sprünge helfen kann.
> Aufgabe 2 scheint nicht so schwer zu sein, da muss ich nur
> die Maßeigenschaften überprüfen, muss ich da etwas
> beachten (knifflige Stelle z.B.?)
Da fehlt was in der Aufgabenstellung, aber ich vermute, [mm] \mu [/mm] soll ein maß sein. Der Beweis sollte machbar sein.
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> Zu 1.)Da bin ich wirklich völlig ahnungslos was für einen
> Ansatz ich nehmen soll.
Wenn [mm] \mathcal{F} [/mm] endlich ist, kannst du zu jedem x den Durchschnitt [mm] P_x [/mm] aller [mm] A\in\mathcal{F} [/mm] mit [mm] x\in [/mm] A betrachten.
Diese [mm] P_x [/mm] bilden eine Partition.
Ist umgekehrt eine Partition gegeben, so bildet alle endlichen Vereinigungen von Mengen aus der Partition eine endliche [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
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> Zu 3.)Die Maßeigenschaften benutzen, um auf den
> Widerspruch zu kommen? (Ist es hier günstig paarweise
> disjunkte Mengen zu nehmen?)
Nein! Es ist nach einer monoton fallenden Folge von Mengen gefragt. Z.B. eine solche, deren Durchschnitt leer ist.
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> Ich danke euch schonmal im voraus für die Mühe. :(
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 12.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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