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| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichung:
[mm] y'+y\tan(x)+\cos(x)=0 [/mm] |
Für mich is das ne Inhomogene DGL, die einfach nur umgestellt wurde.
Demzufolge habe ich als homogene Lösung:
[mm] y_0=-\bruch{c}{\cos(x)}
[/mm]
jetzt hab ich für die part. Lösung den Ansatz
[mm] y_p=C_1\sin(x)+C_2\cos(x) [/mm] gewählt
das führt mich dann nach einsetzten in die DGL zu folgender Gleichung:
[mm] C_1\cos(x)-C_2\sin(x)+\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}*(C_1\sin(x)+C_2\cos(x)) [/mm] = [mm] -\cos(x)
[/mm]
und ab da komm ich nich weiter, da ich mir unsicher bin wie ich denn die Konstanten (C) auflösen soll.
Bzw. ist mein Ansatz zur part. Lösung überhaupt richtig?
Hab' auch schon versucht die DGL mittels Variation der Konstanten zu lösen, da erhalte ich dann aber noch viel größeren Smock.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Sa 28.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Lösen Sie die Differentialgleichung:
> [mm]y'+y\tan(x)+\cos(x)=0[/mm]
> Für mich is das ne Inhomogene DGL, die einfach nur umgestellt wurde.
> Demzufolge habe ich als homogene Lösung:
> [mm]y_0=-\bruch{c}{\cos(x)}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Korrekt: [mm]y_0 = c*\cos x[/mm]. Du hast vermutlich beim Exponentieren das Minuszeichen vorgezogen.
Jetzt probier' nochmal die Variation der Konstanten.
Grüße
Rainer
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ich komm einfach nicht auf deine Lösung der hom DGL.
Ich führe jetzt mal meine Überlegungen aus:
[mm] -\bruch{dy}{y} [/mm] = [mm] \tan(x)dx
[/mm]
[mm] \Rightarrow -\integral{\bruch{dy}{y} dy} [/mm] = [mm] \integral{\tan(x) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] -ln(y) = [mm] -ln(\cos(x)) [/mm] + ln(C)
[mm] \Rightarrow [/mm] ln(y) = [mm] ln(\bruch{\cos(x)}{C})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \bruch{\cos(x)}{C}
[/mm]
ich weiß nich was an der Rechnung falsch sein soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 28.07.2007 | | Autor: | rainerS |
> ich komm einfach nicht auf deine Lösung der hom DGL.
> Ich führe jetzt mal meine Überlegungen aus:
> [mm]-\bruch{dy}{y}[/mm] = [mm]\tan(x)dx[/mm]
> [mm]\Rightarrow -\integral{\bruch{dy}{y} dy}[/mm] =
> [mm]\integral{\tan(x) dx}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] -ln(y) = [mm]-ln(\cos(x))[/mm] +
> ln(C)
> [mm]\Rightarrow[/mm] ln(y) = [mm]ln(\bruch{\cos(x)}{C})[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = [mm]\bruch{\cos(x)}{C}[/mm]
>
> ich weiß nich was an der Rechnung falsch sein soll.
Die ist ja auch richtig, die Lösung ist die gleiche wie meine:
[mm] y_0 = \bruch{1}{C} \cos(x) [/mm],
also Konstante mal Kosinus, mit (mein c) = 1/(dein C). Du hast aber in deiner ersten Frage eine andere (falsche) Lösung hingeschrieben.
Grüße
Rainer
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Ja, hab in meiner erten Lösung einen Flüchitgkeitsfehler gemacht.
Kann ich den denn einfach so ne neue Konstante definierten, obwohl Sie doch eigentlich 1/C sein müsste?
Und wenn ich dann mit deiner Lösung die variation der Konstanten durchführe, muss ich denn dann dein c irgentwann wieder in 1/C zurücksubstituieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 28.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Kann ich den denn einfach so ne neue Konstante
> definierten, obwohl Sie doch eigentlich 1/C sein müsste?
Definieren kannst du Alles.
Überleg' doch mal selber: Welche Bedeutung hat die Konstante? Wie wird sie festgelegt?
Oder anders ausgedrückt: Wie bekommst du die Lösung einer allgemeinen homogenen DGL mit Anfangsbedingung?
> Und wenn ich dann mit deiner Lösung die variation der
> Konstanten durchführe, muss ich denn dann dein c irgentwann
> wieder in 1/C zurücksubstituieren?
Du bekommst in jedem Fall eine Lösung. Probier' mal beide Wege aus!
Grüße
Rainer
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