Partielle Integration/Substitu < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Do 19.07.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
ich habe eine kurze Verständnisfrage zu zwei verschiedenen Aufgaben:
a) [mm] \integral x*e^{2x} [/mm] dx
b) [mm] \integral [/mm] x* [mm] e^{x^{2}} [/mm] dx
Bei a) wird nun gesagt, dass dieser mit Hilfe der partiellen Integration gelöst werden soll und b) mit Hilfe der Substitution.
Hier verstehe ich aber nicht, warum man das so machen soll, denn die Aufgaben unterscheiden sich doch kaum und ich hätte daher beide mit Hilfe der Substitution gelöst!
Könnt ihr mir das erklären?
Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 Do 19.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine kurze Verständnisfrage zu zwei verschiedenen
> Aufgaben:
>
> a) [mm]\integral x*e^{2x}[/mm] dx
> b) [mm]\integral[/mm] x* [mm]e^{x^{2}}[/mm] dx
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> Bei a) wird nun gesagt, dass dieser mit Hilfe der
> partiellen Integration gelöst werden soll und b) mit Hilfe
> der Substitution.
>
> Hier verstehe ich aber nicht, warum man das so machen soll,
> denn die Aufgaben unterscheiden sich doch kaum und ich
> hätte daher beide mit Hilfe der Substitution gelöst!
Was soll den "kaum" hier bedeuten ? Der Unterschied ist groß !
Löse mal a) nur mit Substitution. Ich möchte sehen, wie Du das machst !
>
> Könnt ihr mir das erklären?
>
> Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Do 19.07.2018 | | Autor: | Dom_89 |
a) mit Substitution gelöst
[mm] \integral x\cdot{}e^{2x} [/mm] dx
Substituiere u = 2x -> u'(x) = 2
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = u'(x) = [mm] \bruch{1}{u'(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} \integral x*e^{u} [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}x^2*e^{u} [/mm] +C = [mm] \bruch{1}{4} x^2*e^{u} [/mm] +C
Rücksubstitution
[mm] \bruch{1}{4} x^2*e^{2x} [/mm] +C
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> a) mit Substitution gelöst
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> [mm]\integral x\cdot{}e^{2x}[/mm] dx
>
> Substituiere u = 2x -> u'(x) = 2
>
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = u'(x) = [mm]\bruch{1}{u'(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral x*e^{u}[/mm] dx =
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}x^2*e^{u}[/mm] +C = [mm]\bruch{1}{4} x^2*e^{u}[/mm]
> +C
>
> Rücksubstitution
>
> [mm]\bruch{1}{4} x^2*e^{2x}[/mm] +C
Hallo,
die Richtigkeit Deiner Lösung kannst Du selbst prüfen, indem die von Dir gefundene Stammfunktion ableitest: es müßte die zu integrierende Funktion herauskommen.
Ist das hier der Fall? Nein.
Also kann es nicht richtig sein.
A.
Schauen wir uns überhaupt mal die Substitution an:
> [mm]\integral x\cdot{}e^{2x}[/mm] dx
>
> Substituiere u = 2x
Also ist x=0.5u,
und jedes x in der zu integrierenden Funktion muß ersetzt werden durch 0.5u.
Nun muß man sich noch Gedanken machen, was dx ist.
-> u'(x) = 2
ja, [mm] \bruch{du}{dx}=2,
[/mm]
also ist dx=0.5du.
Einsetzen:
[mm]\integral x\cdot{}e^{2x}[/mm] dx=[mm]\integral 0.5u\cdot{}e^{u}[/mm][mm] *0.5du=0.25\integral u*e^u [/mm] du,
und wenn man sich das anschaut, stellt man fest, daß man auch durch eine richtig durchgeführte Substitution überhaupt nichts gewonnen hat.
Die durch Substitution gewonnene Funktion kann man um keinen Deut besser integrieren als die ursprüngliche.
B.
Wenn ich mir Dein Tun betrachte,
komme ich zu dem Entschluß, daß Du glaubst, man würde ein Produkt integrieren, indem man einfach jeden seiner Faktoren integriert.
Das ist leider eine selbstausgedachte Regel...
C.
Wir halten fest:
mit der durchgeführten Substitution scheitert man.
Also könnte man es ja man mit der partiellen Integration (Produktintegration) versuchen.
Mach das mal!
D.
Irrwege gehören dazu.
Funktioniert der eine Weg nicht, versucht man den nächsten.
Der richtige Weg ist der, der funktioniert.
LG Angela
>
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = u'(x) = [mm]\bruch{1}{u'(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral x*e^{u}[/mm] dx =
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}x^2*e^{u}[/mm] +C = [mm]\bruch{1}{4} x^2*e^{u}[/mm]
> +C
>
> Rücksubstitution
>
> [mm]\bruch{1}{4} x^2*e^{2x}[/mm] +C
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> Hallo,
>
> ich habe eine kurze Verständnisfrage zu zwei verschiedenen
> Aufgaben:
>
> a) [mm]\integral x*e^{2x}[/mm] dx
> b) [mm]\integral[/mm] x* [mm]e^{x^{2}}[/mm] dx
>
> Bei a) wird nun gesagt, dass dieser mit Hilfe der
> partiellen Integration gelöst werden soll und b) mit Hilfe
> der Substitution.
>
> Hier verstehe ich aber nicht, warum man das so machen soll,
> denn die Aufgaben unterscheiden sich doch kaum und ich
> hätte daher beide mit Hilfe der Substitution gelöst!
Hallo,
Du hättest oder hast bei beiden einen Lösungsversuch (!) mit Substitution gemacht.
Wir haben gesehen, daß dieser bei Aufgabe a) scheitert...
Du meinst, die Aufgaben unterschieden sich "kaum".
Was ist gleich?
In der Tat ist beide Male ein Produkt zu integrieren, dessen einer Faktor x ist, und dessen anderer Faktor eine e-Funktion.
Was ist unterschiedlich:
bei b) würde man substituieren [mm] u=x^2,
[/mm]
und der Faktor x ist (bis auf den konstanten Faktor 2) die Ableitung davon...
Wenn Du es mal durchführst, wirst Du den Unterschied zu der mißglückten Substitution bei Aufgabe a) merken.
LG Angela
>
> Könnt ihr mir das erklären?
>
> Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Fr 20.07.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Danke Angela
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