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*Nicht woanders gepostet*
Wie kann ich dieses Integral formal sauberer abgrenzen, so mit Limes usw.
Meine quick&dirty Methode geht so, befriedigt mich aber nicht, wegen der Multiplikation bzw. der Division mit [mm]\infty[/mm] im linken Summanden:
[mm]E(X)=\int _{0}^{\infty }{x*\lambda e^{-\lambda x}dx}\multsp=\multsp(x*-{e^{-\lambda x}})\left \vert \begin{matrix} {\infty}\\ {0} \end{matrix}\multsp-\multsp\int _{0}^{\infty }1*-{e^{-\lambda x}dx}[/mm]
Linker Summand:
[mm]{(x*-{e^{-\lambda x}})\left \vert \begin{matrix} {\infty}\\ {0} \end{matrix}\multsp =\multsp \big(\infty * \frac{-1}{e^{\lambda \infty }}\big)-\big(0* \frac{1}{e^{\lambda 0}}\big)=\multsp 0-0=\multsp 0}[/mm]
Rechter Summand:
[mm]{-\int _{0}^{\infty }-{e^{-\lambda x}}dx\multsp =\int _{0}^{\infty }{e^{-\lambda x}}dx= \multsp \frac{\lambda }{\lambda }\int _{0}^{\infty }\multsp {e^{-\lambda x}}dx\multsp = \multsp \frac{1}{\lambda }\int _{0}^{\infty }\multsp \lambda \multsp {e^{-\lambda x}}dx\multsp }[/mm]
Dabei ist
[mm]{\int _{0}^{\infty } \lambda {e^{-\lambda x}}dx \multsp [/mm]
als Integral der Dichtefunktion natürlich gerade = 1 und muss daher nicht ausgerechnet werden  .
Damit haben wir unseren Erwartungswert:
[mm]E(X)\multsp = \multsp 0\multsp +\multsp \frac{1}{\lambda }*\multsp 1\multsp =\multsp \frac{1}{\lambda }}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 So 15.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Beni,
du kannst das ganze formalkorrekter machen wenn du [mm] $E(x)=\limes_{r \to \infty}\int_0^r [/mm] x [mm] \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx=\limes_{r \to \infty}E_r(x)$ [/mm] wählst.
Denn Grenzwert [mm] $E(x)=\limes_{r \to \infty}E_r(x)$ [/mm] kannst du dann sauber mit der ![[]](/images/popup.gif) L'Hospitalschen Regel bestimmen.
Gruß Max
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 So 15.05.2005 | | Autor: | BeniMuller |
Danke Max, das ist genau der "missing link" den ich gesucht habe  .
Grüsse aus Zürich
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Nach der l'Hospitalschen Regel:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{g(x)}{h(x)}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{g'(x)}{h'(x)}[/mm]
falls [mm]g'(x)[/mm] und [mm]h'(x)[/mm]definiert sind etc.
Mein linker Summand heisst dann:
[mm](x*-{e^{-\lambda x}})\left \vert \begin{matrix} {\infty}\\ {0} \end{matrix}\multsp=\multsp\limes_{R\rightarrow\infty} \bruch{-R}{e^{\lambda*R}}\multsp-\multsp \big(\bruch{-0}{e^{\lambda*0}}\big) \multsp=\multsp\big(\bruch{-\lambda}{e^{\lambda*R}}\big)\multsp=\multsp0-0=0[/mm]
Ich wäre froh, wenn jemand noch schnell einen kritischen Blick auf meinen Grenzwert werfen könnte.
Gruss aus Zürich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 So 15.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Benni
jo, minärä Mainig noh häschs tschäggät. Ich hetts genau äso gmacht!
Mit ganz liebä Grüäss
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 So 15.05.2005 | | Autor: | BeniMuller |
Dank und Gruss nach Mostindien
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