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| Aufgabe | Aufgabe 27:
Lösen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung:
d)
[mm] \int_{}^{} \bruch{1}{t^3+3t^2-4} \, [/mm] dx
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Hallo dem Matheforum.net Team & seinen Mitgliedern!
Ich habe da ein Problem mit dieser Aufgabe bezüglich meiner Partialbruchzerlegung und dem erhalt des Ergebnisses von A,B,C!
Ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:
[mm] \int_{}^{} \bruch{1}{t^3+3t^2-4} \, [/mm] dx
Zuallererst habe ich die Nullstellen des Nennerpolynomes errechnet!
Diese dann als Linearfaktoren aufgeschrieben!
Es ergibt sich eine Doppelte Nullstelle bei -2 und eine Nullstelle bei 1!
Linearfaktoren:
[mm] (t+2)^2 [/mm] (t-1)
Mittels diesen konnte ich nun folgendes tun:
[mm] \int_{}^{} \bruch{1}{t^3+3t^2-4} \, [/mm] dx = [mm] \int_{}^{} \bruch{A}{t-1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{t+2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{t+2} \, [/mm] dx
[mm] \bruch{1}{t^3+3t^2-4} [/mm] = [mm] \bruch{A}{t-1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{t+2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{t+2}
[/mm]
Nun den Nenner von links nach rechts multipliziert!
1 = [mm] \bruch{A t^3+3t^2-4}{t-1} [/mm] + [mm] \bruch{B t^3+3t^2-4}{t+2} [/mm] + [mm] \bruch{C t^3+3t^2-4}{t+2}
[/mm]
Diesen in Linearfaktoren zerlegt:
1 = [mm] \bruch{A (t+2)^2 (t-1)}{t-1} [/mm] + [mm] \bruch{B (t+2)^2 (t-1)}{t+2} [/mm] + [mm] \bruch{C (t+2)^2 (t-1)}{t+2}
[/mm]
Das habe ich dann gekürzt!
1 = A [mm] (t+2)^2 [/mm] + B (t+2) (t-1) + C [mm] (t+2)^2 [/mm] (t-1)
Und nun war ich soweit, das ich hätte A, B, C ermitteln wollen!
Aber auf meinem üblichen Weg, die Nullstellen oder einen logischen Wert einzusetzen erhielt ich leider keine passenden Ergebnisse! :(
Bin etwas Ratlos, hier meine Eingesetzten Werte:
Zuerst die Nullstellen:
t = 1
1 = A [mm] (1+2)^2 [/mm] + B (1+2) (1-1) + C [mm] (1+2)^2 [/mm] (1-1)
1 = 9A + 3B + 3C
t = -2
1 = A [mm] (-2+2)^2 [/mm] + B (-2+2) (-2-1) + C [mm] (-2+2)^2 [/mm] (-2-1)
1 = 0 - 3B - 3C
t = 0
1 = A [mm] (0+2)^2 [/mm] + B (0+2) (0-1) + C [mm] (0+2)^2 [/mm] (0-1)
1 = 4A - 2B - 2C
Wie komme ich hier nun auf ein anständiges Ergebnis ?
So, an sich haben sich bei allen, für die Partialbruchzerlegung bestimmten Aufgaben, immer schlüssige Ergebnisse ergeben!
Nun denn, habe mir dann wolframalpha zu gemüte geführt! Nur vernachlässigt er den Schritt und hat gleich die Partialbrüche gegeben!
Das Ergebnis der Partialbruchzerlegung des Onlinerechners:
[mm] \int_{}^{} [/mm] ( [mm] -\bruch{1}{9(x+2)} -\bruch{1}{3(x+2)^2} +\bruch{1}{9(x-1)}) \, [/mm] dx
Für mich ist es nicht nachvollziehbar, wie der Algorithmus auf dieses Ergebnis gekommen ist!
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt, einzig habe ich Sie einmal in der tollen Mathe "-suchmaschine" eingeben!
[mm] (http://www01.wolframalpha.com/input/?i=int+(1)%2F(x^3%2B3x^2-4)++dx)
[/mm]
Jedoch half mir das Ergebnis bei meinem Problem auch nicht weiter!
Vielen Dank im Voraus für alle Mühen und Antworten! :)
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Hallo Kerberos,
> Aufgabe 27:
> Lösen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung:
>
> d)
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{t^3+3t^2-4} \,[/mm] dx
>
> Hallo dem Matheforum.net Team & seinen Mitgliedern!
> Ich habe da ein Problem mit dieser Aufgabe bezüglich
> meiner Partialbruchzerlegung und dem erhalt des Ergebnisses
> von A,B,C!
>
> Ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:
>
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{t^3+3t^2-4} \,[/mm] dx
>
> Zuallererst habe ich die Nullstellen des Nennerpolynomes
> errechnet!
> Diese dann als Linearfaktoren aufgeschrieben!
> Es ergibt sich eine Doppelte Nullstelle bei -2 und eine
> Nullstelle bei 1!
>
> Linearfaktoren:
> [mm](t+2)^2[/mm] (t-1) ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Mittels diesen konnte ich nun folgendes tun:
>
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{t^3+3t^2-4} \,[/mm] dx = [mm]\int_{}^{} \bruch{A}{t-1}[/mm] + [mm]\bruch{B}{t+2}[/mm] + [mm]\bruch{C}{t+2} \,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist der falsche Ansatz, richtig ist
$\frac{1}{t^3+3t^2-4}=\frac{1}{(t-1)\cdot{}(t+2)^2}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+2}+\frac{C}{(t+2)^{\red{2}}$
Rechne damit nochmal nach ...
> Vielen Dank im Voraus für alle Mühen und Antworten! :)
>
LG
schachuzipus
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Hi vielen Dank für die schnelle Antwort!
Stimmt, das Quadrat habe ich vernachlässigt, meine das in der Regel überlesen zu haben! :(
Habe dies nun angewandt:
[mm] \bruch{1}{(t-1)(t+2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{A}{t-1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{t+2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(t+2)^2} [/mm]
Danach umgestellt und gekürzt:
1 = [mm] A(t+2)^2 [/mm] + B(t-1)(t+2) + C(t-1)
Hier habe ich nun meine Nullstellen und einmal die Null für t eingesetzt!
t = 1
1 = 9A + 3B
t = -2
1 = -3B - 3C
t = 0
1 = 4A - 2B - 1C
Wie würde ich nun weiter verfahren, um A,B,C herauszubekommen ?
Gleichsetzen ?
Einsetzen ?
Sorry stehe dabei etwas auf dem Schlauch :(
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Vielen Dank für die schnellen Antworten, ja... Multiplikation mit NULL!
*Man, Sorry voll übersehen! :(*
Jetzt macht das ganze auch Sinn ;)
Koeffizientenvergleich <-> Wird zumeist zu einer Matrixe oder ?
Hmmm, joar das geht wohl, jedoch verrechnet man sich dort auch recht schnell! ;)
Da laß ich heute abend mal lieber die Finger von! ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aufgabe 27:
> Lösen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung:
>
> d)
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{t^3+3t^2-4} \,[/mm] dx
so wäre die Aufgabe wirklich sehr banal. Bitte achte darauf, dass Du auch die Integrationsvariable richtig bezeichnest:
[mm] $$\int_{}^{} \bruch{1}{\blue{t}^3+3\blue{t}^2-4}\;\blue{dt}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\int_{}^{} \bruch{1}{\blue{x}^3+3\blue{x}^2-4}\;\blue{dx}$$
[/mm]
kannst Du schreiben, aber nicht obiges, denn es wäre
[mm] $$\int_{}^{} \bruch{1}{t^3+3t^2-4}\;\red{dx}=\bruch{1}{t^3+3t^2-4}\int 1\;dx=\bruch{1}{t^3+3t^2-4}*x\,.$$
[/mm]
(Gegebenenfalls meinetwegen auch noch "plus eine Konstante (bzw. konstante Funktion)".)
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel, danke dir!
Habe mich da jedoch nur vertippt ;)
Das x ist halt geläufiger, wenn man dann plötzlich nen t hat passieren schnell mal Flüchtigkeitsfehler! :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:41 Do 04.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Marcel, danke dir!
>
> Habe mich da jedoch nur vertippt ;)
> Das x ist halt geläufiger, wenn man dann plötzlich nen t
> hat passieren schnell mal Flüchtigkeitsfehler! :(
es sollte mehr als Hinweis dienen, damit Du generell drauf achtest. Denn manchmal entstehen - gerade bei Rechnungen mit Integralen - Missverständnisse, weil jemand nicht genau drauf achtet, nach welcher Variable gerade integriert wird. Und ich wollte halt oben verdeutlichen, dass das enorme Auswirkungen haben kann. 
Ich dachte mir schon bzw. es war mir klar, dass es sicherlich nur ein Vertipper Deinerseits war, aber auch solche Vertipper können dienlich sein, um das Auge bzgl. der Notationen zu schulen (wobei ich da, zugegebenermaßen, äußerst penibel bin). Ich hoffe, dass dieser Effekt wenigstens etwas geglückt ist
Gruß,
Marcel
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
