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| Aufgabe | | [mm] \integral{sin^2(\omega x) dx} [/mm] |
Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen.Habe die Lösung doch leider keinen Lösungsweg. Dies soll mit der partiellen Integration gelöst werden.
Ich habe es schon mit der trigonometrischen Beziehung [mm] sin^2 [/mm] =1/2(1-cos(2x)) probiert doch komme nicht auf die richtige Lösung.
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Hallo lotusbluete,
Du wirst hier zweimal nacheinander partiell integrieren müssen. Du erhältst beim zweiten Mal eine Lösung, in der wieder Dein gesuchtes Integral vorkommt, allerdings mit einem Faktor davor.
Wenn Du das gesuchte Integral dann einfach so behandelst, als ob es insgesamt eine Variable wäre, kannst Du aus den beiden partiellen Integrationen zusammen die Stammfunktion bestimmen.
Also etwa so:
[mm] \int{\sin^2{\omega x}\ dx}=\red{\mbox{Term}_1-\int{...}}
[/mm]
[mm] \red{\int{...}}=\blue{\mbox{Term}_2-c\int{\sin^2{\omega x}\ dx}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \int{\sin^2{\omega x}\ dx}=\red{\mbox{Term}_1}-\blue{\mbox{Term}_2+c\int{\sin^2{\omega x}\ dx}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (1-\blue{c})\int{\sin^2{\omega x}\ dx}=\red{\mbox{Term}_1}-\blue{\mbox{Term}_2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \int{\sin^2{\omega x}\ dx}=\bruch{\red{\mbox{Term}_1}-\blue{\mbox{Term}_2}}{1-\blue{c}}
[/mm]
Hmm. Wenigstens ist es schön bunt geworden. 
Grüße,
reverend
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Genau diese Schritte habe ich ebenfalls gemacht. Leider kürzt sich das Integral weg. Meine letzte Zeile sieht folgendermaßen aus:
[mm] \integral{sin^2(\omega x) dx}= -\bruch{1}{\omega }*cos(\omega x)*sin(\omega x)+\bruch{1}\omega *sin(\omega x)*cos(\omega x)+\integral{sin^2(\omega x) dx}
[/mm]
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Hallo Lotusblüte,
> Genau diese Schritte habe ich ebenfalls gemacht. Leider
> kürzt sich das Integral weg. Meine letzte Zeile sieht
> folgendermaßen aus:
> [mm]\integral{sin^2(\omega x) dx}= -\bruch{1}{\omega }*cos(\omega x)*sin(\omega x)+\bruch{1}\omega *sin(\omega x)*cos(\omega x)+\integral{sin^2(\omega x) dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
Da stimmt was nicht
Ich erhalte da: $\int{\sin^2(\omega x) \ dx}=-\frac{\sin(\omega x)\cdot{}\cos(\omega x)}{\omega} \ - \ \int\left(-\frac{1}{\omega}\cdot{}\cos(\omega x)\right)\cdot{}\omega\cdot{}\cos(\omega x) \ dx}$
$=-\frac{\sin(\omega x)\cdot{}\cos(\omega x)}{\omega} \ + \ \int{\cos^2(\omega x) \ dx}$
Nun das $\cos^2(\omega x)$ durch $1-\sin^2(\omega x)$ ersetzen und es hebt sich netterweise nicht weg, so wie es sein sollte
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral{sin^2(\omega x) dx}[/mm]
> Kann mir bitte jemand bei
> dieser Aufgabe helfen.Habe die Lösung doch leider keinen
> Lösungsweg. Dies soll mit der partiellen Integration gelöst
> werden.
> Ich habe es schon mit der trigonometrischen Beziehung
> [mm]sin^2[/mm] =1/2(1-cos(2x)) probiert doch komme nicht auf die
> richtige Lösung.
Es ist [mm] sin^2(\omega [/mm] x) = 1/2(1-cos(2 [mm] \omega [/mm] x ))
Die Substitution t = 2 [mm] \omega [/mm] x führt sehr einfach zum Ziel
FRED
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Das ist schon richtig nur soll die Aufgabe mit Hilfe der partiellen Integration gelöst werden und nicht durch eine Substitution.
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