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Forum "Integralrechnung" - Partielle Integration
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Partielle Integration: Integral x*ln(x)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 So 17.02.2008
Autor: ZodiacXP

Aufgabe
Bilde das Integral von $ f(x) := x*ln(x) [mm] \$ [/mm] mit der unteren Grenze a und der oberen Grenze b

Hallo

Also. Es ist ganz klar partielle Integration:

$ [mm] \integral_{a}^{b}{u' * v dx} [/mm] = [u*v] - [mm] \integral_{a}^{b}{u * v ' dx} \$ [/mm]

Angenommen es sei u = ln(x) [mm] \wedge [/mm] v=x, dann folgt:

$ [(x*ln(x)-x)*x] - [mm] \integral_{a}^{b}{ln(x) * 1 dx} \$ [/mm]

Woraus wieder folgt:

$ [(x*ln(x)-x)*x] - [(x*ln(x)-x)*1] [mm] \$ [/mm]

Das ist aber was ganz anderes als Derive und sonst wer raus hat. Was habe ich falsch gemacht?

        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 So 17.02.2008
Autor: abakus


> Bilde das Integral von [mm]f(x) := x*ln(x) \[/mm] mit der unteren
> Grenze a und der oberen Grenze b
>  Hallo
>  
> Also. Es ist ganz klar partielle Integration:

[ok]

>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{u' * v dx} = [u*v] - \integral_{a}^{b}{u * v ' dx} \[/mm]

>  
> Angenommen es sei u = ln(x) [mm]\wedge[/mm] v=x, dann folgt:
>  
> [mm][(x*ln(x)-x)*x] - \integral_{a}^{b}{ln(x) * 1 dx} \[/mm]

????
Hier hast du die Aufgabe verschlimmbessert.

Sinn der Übung ist es, an Stelle eines nicht oder schwer berechenbaren Integrals
[mm]\integral_{a}^{b}{u' * v dx}[/mm] das möglichst einfache Integral [mm]\integral_{a}^{b}{u * v ' dx} \[/mm]
zu berechnen. DEM ordnet sich die Frage unter: Was nehme ich als u' und was als v?
Statt [mm] u'v=x\ln(x) [/mm] integriere ich doch lieber  [mm] u*v'=\bruch{x^2}{2}*\bruch{1}{x}=\bruch{x}{2} [/mm] .
Also: [mm]\integral x*ln(x)dx \[/mm] [mm] =\bruch{x^2}{2}*ln(x)-\integral\bruch{x}{2}dx=\bruch{x^2}{2}*ln(x)-\bruch{x^2}{4} [/mm]

Jetzt noch die Grenzen einsetzen - fertig

Viele Grüße
Abakus

>  
> Woraus wieder folgt:
>  
> [mm][(xln(x)-x)*x] - [(x*ln(x)-x)*1] \[/mm]
>  
> Das ist aber was ganz anderes als Derive und sonst wer raus
> hat. Was habe ich falsch gemacht?


Bezug
                
Bezug
Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 So 17.02.2008
Autor: ZodiacXP

Ist es denn so grundlegend falsch?

Das die andere Variante ihre Vorzüge hat wurde mir klar nur was stimmt an meiner nicht? Es geht doch wenn ich ständig das x ableite bis es 0 wird und dadurch der Integral verschwindet.

Wo ist mein Fehler bei meiner Variante?
Bis auf das ich mich einmal am Anfang verschrieben habe und statt u(x) = ln(x) eigentlich u'(x) = ln(x) meinte.

Bezug
                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:37 So 17.02.2008
Autor: steppenhahn

Da scheint wirklich was nicht richtig zu sein:
Es ist

[mm] \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = (ln(x)*x-x)*x - [mm] \integral{(\ln(x)*x-x)*1 dx} [/mm]

Verstehst du? Du hast praktisch die Partielle Integration folgendermaßen ausgeführt:

[mm] \integral{u'*v dx} [/mm] = u*v - [mm] \integral{u'*v' dx} [/mm]

Weil du im zweiten Integral dann nicht die Stammfunktion von ln(x) integrieren wolltest, sondern nur ln(x).

Nur so: Auch mit deiner Variante für u und v kann man das Integral lösen:
Man schreibt:

   [mm] \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = (ln(x)*x-x)*x - [mm] \integral{(\ln(x)*x-x)*1 dx} [/mm]

[mm] \gdw \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = (ln(x)*x-x)*x - [mm] \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] + [mm] \integral{x dx} [/mm]

[mm] \gdw 2*\integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = (ln(x)*x-x)*x + [mm] \integral{x dx} [/mm]

[mm] \gdw \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = [mm] \bruch{(ln(x)*x-x)*x + \integral{x dx}}{2} [/mm]

[mm] \gdw \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = [mm] \bruch{(ln(x)*x-x)*x + \bruch{x^{2}}{2}}{2} [/mm]



Bezug
                                
Bezug
Partielle Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:45 So 17.02.2008
Autor: ZodiacXP

Das ist es! Das ist genau die Antwort die ich gesucht habe. Danke steppenhahn! Jetz sind meine Kopfschmerzen schon erträglicher geworden ;) Typischer dummer Flüchtigkeitsfehler von mir

Bezug
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