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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Partielle Ableitungen
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Partielle Ableitungen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Do 16.01.2014
Autor: Cauchy123

Hallo,

ich hätte folgende Fragen zum Verständnis:

1) betrachte eine Funktion f\colon\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R},~~f(x):=g\left(\frac{x}{b}\right) mit g\colon\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R} und einer reellen Zahl b.

Ich bilde dann die m-fache partielle Ableitung mit der Kettenregel:

\frac{\partial ^{m}f(a)}{\partial x_{1}^{m_{1}}\ldots \partial x_{n}^{m_{n}}}}=\frac{1}{b^{m}}\cdot\frac{\partial ^{m}g\left(\frac{a}{b}\right)}{\partial x_{1}^{m_{1}}\ldots \partial x_{n}^{m_{n}}}}.

Könnte mir bitte jemand bestätigen, ob diese Ableitung richtig ist.

2) Wenn man von einer m-fachen stetig differenzierbaren Funktion spricht, meint man damit die Existenz und die Stetigkeit aller mehrdimensionalen Ableitungen, solange ihre eindimensionalen partiellen Ableitung in jede Richtung vom Grad \le m ist, oder soll die Summe aller partiellen Ableitungen einer mehrdimensionalen Ableitung höchstens m sein?

Danke im voraus,

Grüße.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheplanet.com/

        
Bezug
Partielle Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Do 16.01.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich hätte folgende Fragen zum Verständnis:
>  
> 1) betrachte eine Funktion
> f\colon\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R},~~f(x):=g\left(\frac{x}{b}\right)
> mit g\colon\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R} und einer
> reellen Zahl b.
>  
> Ich bilde dann die m-fache partielle Ableitung mit der
> Kettenregel:
>  
> \frac{\partial ^{m}f(a)}{\partial x_{1}^{m_{1}}\ldots \partial x_{n}^{m_{n}}}}=\frac{1}{b^{m}}\cdot\frac{\partial ^{m}g\left(\frac{a}{b}\right)}{\partial x_{1}^{m_{1}}\ldots \partial x_{n}^{m_{n}}}}.
>  
> Könnte mir bitte jemand bestätigen, ob diese Ableitung
> richtig ist.


Sie ist richtig (falls [mm] m_1+...+m_n=m [/mm] ist)


>  
> 2) Wenn man von einer m-fachen stetig differenzierbaren
> Funktion spricht, meint man damit die Existenz und die
> Stetigkeit aller mehrdimensionalen Ableitungen, solange
> ihre eindimensionalen partiellen Ableitung in jede Richtung
> vom Grad \le m ist, oder soll die Summe aller partiellen
> Ableitungen einer mehrdimensionalen Ableitung höchstens m
> sein?

m-mal stetig differenzierbar heißt eine Funktion, wenn sämtliche partiellen Ableitungen der Ordnung [mm] \le [/mm] m existieren und stetig sind.

FRED
>  
> Danke im voraus,
>  
> Grüße.
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: http://www.matheplanet.com/
>  

Bezug
                
Bezug
Partielle Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:30 Do 16.01.2014
Autor: Cauchy123

Danke fred97.
Bezug
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