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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Sa 04.07.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Die differenzierbare Funktion [mm] f:\IR^{n} \setminus\{0\} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei homogen vom Grad [mm] a\in \IR [/mm] ,d.h. für alle [mm] \lambda [/mm] > 0 und x [mm] \in \IR^{n} \setminus\{0\} [/mm] gilt:
[mm] f(\lambda x)=\lambda^{a} [/mm] f(x).
Zeige,dass dann für alle [mm] x\in \IR^{n} \setminus\{0\} [/mm] die Eulersche Identität gilt:
gradf(x)x=af(x). |
hallo,
ich hab mir mal die letzte gleichung genauer angeschaut und einfach mal ein bisschen umgeschrieben,ohne beachtung der eulerschen identität.bin aber nicht wirklich sinnvoll weiter gekommen.
ich versthe nicht wie ich die e. identität dort einbringen soll. dort geht es doch um komplexe zahlen,die ich doch hier gar nicht habe.
ich hab auch noch gefunden,dass die e. identität besagt,dass f(x)=1 für alle x ist.stimmt das?
bin für jede anregung dankbar.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:50 So 05.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die differenzierbare Funktion [mm]f:\IR^{n} \setminus\{0\}[/mm] ->
> [mm]\IR[/mm] sei homogen vom Grad [mm]a\in \IR[/mm] ,d.h. für alle [mm]\lambda[/mm] >
> 0 und x [mm]\in \IR^{n} \setminus\{0\}[/mm] gilt:
> [mm]f(\lambda x)=\lambda^{a}[/mm] f(x).
> Zeige,dass dann für alle [mm]x\in \IR^{n} \setminus\{0\}[/mm] die
> Eulersche Identität gilt:
> gradf(x)x=af(x).
Hier solltest du erstmal die Aufgabenstellung klar aufschreiben: was soll $gradf(x)x$ bedeuten? Der Gradient von $f$ an der Stelle $x$, multipliziert mit $x$ (als Skalarprodukt) ist die einzige sinnvolle Interpretation.
> ich hab mir mal die letzte gleichung genauer angeschaut
> und einfach mal ein bisschen umgeschrieben,ohne beachtung
> der eulerschen identität.bin aber nicht wirklich sinnvoll
> weiter gekommen.
> ich versthe nicht wie ich die e. identität dort
> einbringen soll. dort geht es doch um komplexe zahlen,die
> ich doch hier gar nicht habe.
Hier ist nicht die Eulersche Identitaet [mm] $e^{i t} [/mm] = [mm] \cos [/mm] t + i [mm] \sin [/mm] t$ gemeint, sondern die Eulersche Identitaet $(grad f(x)) x = a f(x)$. Und du sollst sie nicht benutzen, sondern zeigen.
> ich hab auch noch gefunden,dass die e. identität
> besagt,dass f(x)=1 für alle x ist.stimmt das?
Sicher nicht.
> bin für jede anregung dankbar.
Betrachte die Funktion $g : [mm] \IR \to \IR$, $\lambda \mapsto f(\lambda [/mm] x)$. Berechne $g'(1)$ auf zwei verschiedene Wege.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 So 05.07.2009 | | Autor: | simplify |
danke...
ich werde dann erstmal die aufgabe neu betrachten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mo 06.07.2009 | | Autor: | simplify |
also wenn ich richtig liege ist doch <gradf(x),x> [mm] =\summe_{i=1}^{n}\bruch{df(x)}{dx_{i}}x_{i}.
[/mm]
des weiteren ist doch g'(1)=f'(x) fuer die funktion [mm] g(\lambda)=f(\lambda [/mm] x)?ich verstehe nicht ganz den zusammenhang zu der aufgabe.
was mich noch ein wenig stutzig macht ist das a,was in der eul. identitaet auftaucht (woher)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
f ist homogen vom Grad $ [mm] a\in \IR [/mm] $, d.h:
$ [mm] g(\lambda)=f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda^af(x)$
[/mm]
wir differenzieren nach [mm] \lambda:
[/mm]
[mm] $g'(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda f'(\lambda [/mm] x) = a [mm] \lambda^{a-1}f(x)$
[/mm]
Nun setze [mm] \lambda [/mm] = 1
FRED
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