Partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Leiten Sie durch Betrachtung der partiellen Ableitungen folgende Regel her. Geben Sie die Dimensionen aller auftretenden Ableitungsmatrizen an. v(x), w(x) sind als Spaltenvektoren zu betrachten.
[mm] f(x):=v(x)^T*w(x) [/mm] mit v,w: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] |
[mm] f(x):=v(x)^T*w(x)
[/mm]
[mm] v(x)=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}
[/mm]
[mm] w(x)=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}
[/mm]
f(x):= [mm] \pmat{ x_1 & x_2 & x_3}\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}
[/mm]
das muss falsch sein , da der funktionswert nicht [mm] \IR^3 [/mm] ist. wie sieht die richtige funktion aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Sa 05.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Leiten Sie durch Betrachtung der partiellen Ableitungen
> folgende Regel her. Geben Sie die Dimensionen aller
> auftretenden Ableitungsmatrizen an. v(x), w(x) sind als
> Spaltenvektoren zu betrachten.
>
> [mm]f(x):=v(x)^T*w(x)[/mm] mit v,w: [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm]
>
> [mm]f(x):=v(x)^T*w(x)[/mm]
>
> [mm]v(x)=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
>
> [mm]w(x)=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
>
> f(x):= [mm]\pmat{ x_1 & x_2 & x_3}\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
>
> das muss falsch sein , da der funktionswert nicht [mm]\IR^3[/mm]
> ist. wie sieht die richtige funktion aus?
Da steht ja nicht, dass $f$ eine Funktion [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm] ist.
$f$ ist eine Funktion [mm]\IR^3 \to \IR[/mm], aber $v$ und $w$ sind [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm].
Auch ist deine Schreibweise nicht ganz korrekt.
Es ist
[mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
dann ist
[mm]v(x)=\vektor{vx_1 \\ vx_2 \\ vx_3}[/mm]
und
[mm]w(x)=\vektor{wx_1 \\ wx_2 \\ wx_3}[/mm]
und
[mm]f(x)=\pmat{ vx_1 & vx_2 & vx_3}*\vektor{wx_1 \\ wx_2 \\ wx_3}[/mm]
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hallo,
> Auch ist deine Schreibweise nicht ganz korrekt.
> Es ist
> [mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> dann ist
> [mm]v(x)=\vektor{vx_1 \\ vx_2 \\ vx_3}[/mm]
[mm] vx_1 [/mm] ist eine variable oder? oder ist v und [mm] x_1 [/mm] jeweils eine variabel?
[mm] f(x)=vwx_1^2+vwx_2^2+vwx_3^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_1}=2vwx_1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_2}=2vwx_2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_3}=2vwx_3
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 So 06.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
>
> > [mm]v(x)=\vektor{vx_1 \\ vx_2 \\ vx_3}[/mm]
>
> [mm]vx_1[/mm] ist eine variable oder? oder ist v und [mm]x_1[/mm] jeweils
> eine variabel?
Ersteres.
> [mm]f(x)=vwx_1^2+vwx_2^2+vwx_3^2[/mm]
Nein. Eher so
[mm]f(x)=vx_1*wx_1+vx_2*wx_2+vx_3*wx_3[/mm]
Aber das komponentenweise Anschreiben bringt dich vermutlich ohnedies nicht weiter. Ich wollte damit nur ausdrücken, dass v und w nicht Identitäten sind.
Vektoriell schreibt sich die Jacobi-Matrix sicher einfacher. du musst nur für jede partielle Ableitung die Produktregel anwenden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 So 06.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Leiten Sie durch Betrachtung der partiellen Ableitungen
> > folgende Regel her. Geben Sie die Dimensionen aller
> > auftretenden Ableitungsmatrizen an. v(x), w(x) sind als
> > Spaltenvektoren zu betrachten.
> >
> > [mm]f(x):=v(x)^T*w(x)[/mm] mit v,w: [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm]
> >
> > [mm]f(x):=v(x)^T*w(x)[/mm]
> >
> > [mm]v(x)=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> >
> > [mm]w(x)=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> >
> > f(x):= [mm]\pmat{ x_1 & x_2 & x_3}\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
>
> >
> > das muss falsch sein , da der funktionswert nicht [mm]\IR^3[/mm]
> > ist. wie sieht die richtige funktion aus?
>
> Da steht ja nicht, dass [mm]f[/mm] eine Funktion [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm]
> ist.
> [mm]f[/mm] ist eine Funktion [mm]\IR^3 \to \IR[/mm], aber [mm]v[/mm] und [mm]w[/mm] sind [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm].
>
> Auch ist deine Schreibweise nicht ganz korrekt.
> Es ist
> [mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> dann ist
> [mm]v(x)=\vektor{vx_1 \\ vx_2 \\ vx_3}[/mm]
> und
> [mm]w(x)=\vektor{wx_1 \\ wx_2 \\ wx_3}[/mm]
> und
> [mm]f(x)=\pmat{ vx_1 & vx_2 & vx_3}*\vektor{wx_1 \\ wx_2 \\ wx_3}[/mm]
....... diese Schreibweise ist ebenfalls nicht korrekt, denn sie ist völlig unsinnig !
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 So 06.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Es ist
> > [mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> > dann ist
> > [mm]v(x)=\vektor{vx_1 \\ vx_2 \\ vx_3}[/mm]
> > und
> > [mm]w(x)=\vektor{wx_1 \\ wx_2 \\ wx_3}[/mm]
> > und
> > [mm]f(x)=\pmat{ vx_1 & vx_2 & vx_3}*\vektor{wx_1 \\ wx_2 \\ wx_3}[/mm]
>
>
> ....... diese Schreibweise ist ebenfalls nicht korrekt,
> denn sie ist völlig unsinnig !
Nun, die Schreibweise mag, wie ich auch schrieb, für die Lösung der Aufgabe nicht zielführend sein.
Dennoch ist sie unter der Voraussetzung, dass [mm] $x_1,x_2,x3_$ [/mm] Skalare sind korrekt und auch sinnvoll, wenn damit vor allem demonstriert werden soll, dass v und w Funktionen von $ [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] $, f aber eine Funktion von $ [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] $ ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:26 Di 08.07.2014 | | Autor: | fred97 |
>
> > > Es ist
> > > [mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> > > dann ist
> > > [mm]v(x)=\vektor{vx_1 \\ vx_2 \\ vx_3}[/mm]
> > > und
> > > [mm]w(x)=\vektor{wx_1 \\ wx_2 \\ wx_3}[/mm]
> > > und
> > > [mm]f(x)=\pmat{ vx_1 & vx_2 & vx_3}*\vektor{wx_1 \\ wx_2 \\ wx_3}[/mm]
>
> >
> >
> > ....... diese Schreibweise ist ebenfalls nicht korrekt,
> > denn sie ist völlig unsinnig !
>
> Nun, die Schreibweise mag, wie ich auch schrieb, für die
> Lösung der Aufgabe nicht zielführend sein.
> Dennoch ist sie unter der Voraussetzung, dass [mm]x_1,x_2,x3_[/mm]
> Skalare sind korrekt und auch sinnvoll,
Mit Verlaub, aber das ist doch Unsinn.
Was soll denn die rechte Seite von
$ [mm] v(x)=\vektor{vx_1 \\ vx_2 \\ vx_3} [/mm] $
bedeuten ? Z.B. ist die erste Komponentenfunktion von v eine Funktion der 3 Variablen [mm] x_1,x_2 [/mm] und [mm] x_3. [/mm] Dafür schreibt man üblicherweise [mm] v_1(x_1,x_2,x_3).
[/mm]
Du schreibst dafür [mm] vx_1. [/mm] Und das meine Ich mit "Unsinn".
FRED
> wenn damit vor
> allem demonstriert werden soll, dass v und w Funktionen von
> [mm]\IR^3 \to \IR^3 [/mm], f aber eine Funktion von [mm]\IR^3 \to \IR[/mm]
> ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Di 08.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Dennoch ist sie unter der Voraussetzung, dass [mm]x_1,x_2,x3_[/mm]
> > Skalare sind korrekt und auch sinnvoll,
>
> Mit Verlaub, aber das ist doch Unsinn.
>
> Was soll denn die rechte Seite von
>
> [mm]v(x)=\vektor{vx_1 \\ vx_2 \\ vx_3}[/mm]
>
> bedeuten ? Z.B. ist die erste Komponentenfunktion von v
> eine Funktion der 3 Variablen [mm]x_1,x_2[/mm] und [mm]x_3.[/mm] Dafür
> schreibt man üblicherweise [mm]v_1(x_1,x_2,x_3).[/mm]
>
> Du schreibst dafür [mm]vx_1.[/mm] Und das meine Ich mit "Unsinn".
>
> FRED
Ich versteh schon, was du meinst. Der "Unsinn" war allerdings nicht die Verwendung von [mm] $vx_1$ [/mm] etc. sondern eher die Verwendung der üblichen Bezeichnung für den formalen Parameter ($\ x$) für einen konkreten aktuellen Parameter.
Ziel war ja zu zeigen, dass es durchaus im Sinne der Angabe OK ist, dass das Ergebnis von [mm] §f(x)\in\IR$ [/mm] und meinen ersten Ansatz, ein konkretes Zahlenbeispiel zu geben, hatte ich verworfen um Verwirrungen bzgl der konkreten Zahlen zu vermeiden. Bedauerlicherweise ist es mir dann offenbar trotzdem gelungen, Verwirrung zu stiften.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Di 08.07.2014 | | Autor: | fred97 |
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> Ich versteh schon, was du meinst. Der "Unsinn" war
> allerdings nicht die Verwendung von [mm]vx_1[/mm] etc.
doch, das war Unsinn !
> sondern eher
> die Verwendung der üblichen Bezeichnung für den formalen
> Parameter ([mm]\ x[/mm]) für einen konkreten aktuellen Parameter.
Ach ... und was willst Du damut zum Ausdruck bringen ?
FRED
> Ziel war ja zu zeigen, dass es durchaus im Sinne der
> Angabe OK ist, dass das Ergebnis von [mm]§f(x)\in\IR$[/mm] und
> meinen ersten Ansatz, ein konkretes Zahlenbeispiel zu
> geben, hatte ich verworfen um Verwirrungen bzgl der
> konkreten Zahlen zu vermeiden. Bedauerlicherweise ist es
> mir dann offenbar trotzdem gelungen, Verwirrung zu
> stiften.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 So 06.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Zur Schreibweise: v und w nehmen Werte im [mm] \IR^3 [/mm] an, also haben sie jeweils 3 Komponenten funktionen:
[mm] v(x)=\vektor{v_1(x)\\ v_2(x) \\ v_3(x)},
[/mm]
wobei [mm] v_i: \IR \to \IR.
[/mm]
Edit : Tippfehler! [mm] v_i: \IR^3 \to \IR.
[/mm]
Wenn Du w entsprechen schreibst, so ist
[mm] f(x)=v_1(x)*w_1(x)+v_2(x)*w_2(x)+v_3(x)*w_3(x)
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 So 06.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Zur Schreibweise: v und w nehmen Werte im [mm]\IR^3[/mm] an, also
> haben sie jeweils 3 Komponenten funktionen:
>
>
> [mm]v(x)=\vektor{v_1(x)\\ v_2(x) \\ v_3(x)},[/mm]
>
> wobei [mm]v_i: \IR \to \IR.[/mm]
Auch die [mm] $v_i$ [/mm] sind Funktionen von $ [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] $.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 So 06.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Auch die [mm]v_i[/mm] sind Funktionen von [mm]\IR^3 \to \IR [/mm].
weshalb denn das? Im Themenstart war v(x) noch ein Spaltenvektor, und [mm] v_i [/mm] ist ja die i. Koordinate von v(x)?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 So 06.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo!
> > Auch die [mm]v_i[/mm] sind Funktionen von [mm]\IR^3 \to \IR [/mm].
>
> weshalb denn das? Im Themstart war v(x) noch ein
> Spaltenvektor, und [mm]v_i[/mm] ist ja die i. Koordinate von v(x)?
Die i-te Koordinate ist durchaus ein Skalar, aber die Funktion, welche die i-te Koordinate erzeugt, operiert auf allen drei Komponenten von $\ x$.
Laut Angabe sind [mm]\ w(x) [/mm] und [mm]\ v(x) [/mm] Funktionen von $ [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] $. Daraus folgt, dass [mm] $x\in\IR^3$ [/mm] ist.
Die von Fred eingeführten [mm] $v_i(x)$, [/mm] welche die Komponenten von $\ v(x)$ ergeben, sind daher Funktionen von $ [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] $. Zur Berechnung der ersten Komponente von $\ v(x)$ könnten natürlich alle drei Komponenten von $\ x$ beitragen.
Ich geh davon aus, dass es sich nur um einen Typo handelt.
Die Einführung dieser (in Summe dann sechs) Einzelfunktionen macht die Ableitungen dann aber eher langwierig. Vielleicht wäre es besser, direkt den Ausdruck $ [mm] f(x):=v(x)^T\cdot{}w(x) [/mm] $ mit der Produktregel zu bearbeiten.
Formal steht dann [mm] $\frac{\partial{v(x)}}{\partial{x_1}}$ [/mm] für [mm] $\vektor{\frac{\partial{v_1(x)}}{\partial{x_1}} \\ \frac{\partial{v_2(x)}}{\partial{x_1}} \\ \frac{\partial{v_3(x)}}{\partial{x_1}} }$
[/mm]
Möglicherweise müsste man sich dabei noch Gedanken über die Vertauschbarkeit von Differenzieren und Transponieren machen.
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