Partialbruchzerlegungs Problem < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Do 05.02.2009 | | Autor: | Mojito |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie: Die Funktion [mm] f(x)=\bruch{4x²}{x²-4x+4} [/mm] lässt sich darstellen in der Form f(x)= [mm] 4+\bruch{16}{(x-2)}+\bruch{16}{(x-2)²} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Der Grapf von f und die Asymptote schließen im Intervall [3;6] eine Fläche ein. Berechnen sie deren Maß. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie mache ich beiser dieser Funktion die Polynomdivision? Ich weiß, dass die Asymptote bei x [mm] =\pm [/mm] 4 liegt.
Dann noch das Problem mit der Partialbruchzerlegung. Denn für das Integral brauche ich die Aufleitung.
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> Zeigen Sie: Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{4x²}{x²-4x+4}[/mm] lässt
> sich darstellen in der Form f(x)=
> [mm]4+\bruch{16}{(x-2)}+\bruch{16}{(x-2)²}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Der Grapf von f und die Asymptote schließen im Intervall
> [3;6] eine Fläche ein. Berechnen sie deren Maß.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wie mache ich beiser dieser Funktion die Polynomdivision?
Du brauchst keine Polynomdivision! Diese wäre nur erforderlich um eine Asymptote zu erhalten für betragsmäßig große x-Werte, jedoch nur für Funktionen, bei denen der Zählergrad größer ist als der Nenner. Hier kannst du durch einsetzen mit dem Taschenrechner aber sehr schnell sehen, dass der Grenzwert 4 lautet. Rechnerisch genauso einfach geht es bei Funktionen, wie hier, die den gleichen Grad im Zähler und Nenner haben, indem man durch den größten Grad teilt.
$ \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{4x²}{x²-4x+4})=\limes_{x\rightarrow\infty}{\bruch{4}{1-\bruch{4}{x}+\bruch{4}{x^2}} $
Damit siehst du sofort, dass alle 1/x-Terme gegen 0 gehen und nur 4 übrigbleibt. Damit ist deine waagrechte Asymptote a(x)=4.
Senkrechte Asymptoten ermittelst du, indem du den Nenner 0 setzt und überprüfst, ob die NST des Nenners nicht auch NST des Zählers sind!
$ x^2-4x+4=(x-2)^2 $
Die einzige NST ist damit x=2
Der Definitionsbereich ist also $ x \in \IR \backslash \{2\} $
Das hättest du aber auch sofort bei der Darstellung mit den drei Teiltermen sehen können, wo der Nenner ja schon (x-2) lautet.
> Ich weiß, dass die Asymptote bei x [mm]=\pm[/mm] 4 liegt.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das kann demnach nicht sein
> Dann noch das Problem mit der Partialbruchzerlegung. Denn
> für das Integral brauche ich die Aufleitung.
Und wo ist dabei das Problem? :) Ich weiß zwar nicht genau, welche Asmyptote gemeint ist, da müsste eventuell nochmal nachgefragt werden, aber Sinn macht eigentlich nur waagrechte Asymptote a(x)=4.
Dann sollst du also die Fläche zwischen der unteren Parallelen zur x-Achse (y=4) und der knapp darüber verlaufenden Funktion f(x) von 3 bis 6 berechnen. Dankbarerweise ist dir die Funktion schon als Partialbruch dargestellt, so dass gilt:
$ [mm] \integral_{3}^{6}{(4+\bruch{16}{(x-2)}+\bruch{16}{(x-2)²}) dx}=[4x+16*ln(x-2)-\bruch{16}{(x-2)}]^6_3 [/mm] $
Es gilt ja, dass du jeden Summanden einzeln integrieren kannst. Einziges Problem ist 16/(x-2), wobei das Integral von 1/x ja der ln(x) ist. Wenn du unsicher bist, einfach zur Probe ableiten!
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