Partialbruchzerlegung Komplex < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \bruch{2*(w^2+w-1)}{(1+w)^2*(w^2+1)} [/mm] |
Schönen guten Tag,
ich sitze seit 2 Stunden an dieser Aufgabe. Ich habe keine Probleme bei der Partialbruchzerlegung mit reellen Zahlen. Wenn ich jedoch eine Aufgabe bekomme mit komplexen Zahlen bzw. Nullstellen, kriege ich die Aufgabe nicht hin!
Ich komme bis hierhin:
[mm] \bruch{2*(w^2+w-1)}{(1+w)^2*(w+j)*(w-j)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{1+w}+\bruch{B}{(1+w)^2}+\bruch{C}{w+j}+\bruch{D}{w-j}
[/mm]
Dann rechne ich so weiter:
[mm] 2w^2+2w-2=A(1+w)(w+j)(w-j)+B(w+j)(w-j)+C(1+w)^2(w-j)+D(1+w)^2(w+j)
[/mm]
Es wäre echt schön, wenn mir jemand die Partialbruchzerlegung mit komplexen Zahlen mal eklärt :).
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo OkiSchoki,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\bruch{2*(w^2+w-1)}{(1+w)^2*(w^2+1)}[/mm]
> Schönen guten Tag,
>
> ich sitze seit 2 Stunden an dieser Aufgabe. Ich habe keine
> Probleme bei der Partialbruchzerlegung mit reellen Zahlen.
> Wenn ich jedoch eine Aufgabe bekomme mit komplexen Zahlen
> bzw. Nullstellen, kriege ich die Aufgabe nicht hin!
>
> Ich komme bis hierhin:
>
> [mm]\bruch{2*(w^2+w-1)}{(1+w)^2*(w+j)*(w-j)}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{1+w}+\bruch{B}{(1+w)^2}+\bruch{C}{w+j}+\bruch{D}{w-j}[/mm]
>
> Dann rechne ich so weiter:
>
> [mm]2w^2+2w-2=A(1+w)(w+j)(w-j)+B(w+j)(w-j)+C(1+w)^2(w-j)+D(1+w)^2(w+j)[/mm]
>
Multipliziere die rechte Seite aus,
und vergleiche die Koeffizienten
vor den Potenzen auf beiden Seiten.
> Es wäre echt schön, wenn mir jemand die
> Partialbruchzerlegung mit komplexen Zahlen mal eklärt :).
>
> MfG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Fr 01.02.2013 | | Autor: | OkiSchoki |
Ich habe jetzt die rechte Seite ausmultipliziert und jetzt sieht es so aus:
[mm] 2w^2+2w-2 [/mm] = [mm] A(w^3+w^2+w+1)+B(w^2+1)+C(w^3+2w^2-jw^2+w-j2w-j)+D(w^3+2w^2+jw^2+w-j2w+j).
[/mm]
Hier kann man ja sehen, dass D das konjugiert komplexe von C ist .. Aber was bringt mir das jetzt? :(
MfG
|
|
|
| |
|
Hallo OkiSchoki,
bevor Du dem (natürlich vollkommen richtigen) Tipp von MathePower folgst, lohnt es sich, genauer hinzusehen.
> [mm]\bruch{2*(w^2+w-1)}{(1+w)^2*(w^2+1)}[/mm]
> Schönen guten Tag,
>
> ich sitze seit 2 Stunden an dieser Aufgabe. Ich habe keine
> Probleme bei der Partialbruchzerlegung mit reellen Zahlen.
> Wenn ich jedoch eine Aufgabe bekomme mit komplexen Zahlen
> bzw. Nullstellen, kriege ich die Aufgabe nicht hin!
>
> Ich komme bis hierhin:
>
> [mm]\bruch{2*(w^2+w-1)}{(1+w)^2*(w+j)*(w-j)}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{1+w}+\bruch{B}{(1+w)^2}+\bruch{C}{w+j}+\bruch{D}{w-j}[/mm]
>
> Dann rechne ich so weiter:
>
> [mm]2w^2+2w-2=A(1+w)(w+j)(w-j)+B(w+j)(w-j)+C(1+w)^2(w-j)+D(1+w)^2(w+j)[/mm]
Das ist ja ein bisschen Arbeit, wenn Du das jetzt komplett ausmultiplizierst. Letztlich willst Du vier lineare Gleichungen haben, um daraus A,B,C,D zu bestimmen. Also erst mal die Arbeit ein bisschen vereinfachen, indem Du $(w+j)(w-j)$ wieder zu [mm] $(w^2+1)$ [/mm] zusammenfasst.
Dann kann man zwei der Gleichungen ziemlich direkt ablesen.
Einmal: Koeffizienten von [mm] w^3:\quad{0}=A+C+D
[/mm]
Dann auch absolute Glieder: $-2=A+B-Cj+Dj$
Jetzt brauchst Du nur noch die Quadrate und die linearen Glieder zu besehen. Ich würde dazu ehrlich gesagt nicht mehr ganz ausmultiplizieren...
> Es wäre echt schön, wenn mir jemand die
> Partialbruchzerlegung mit komplexen Zahlen mal eklärt :).
Geht eigentlich ganz genauso wie im Reellen, nur dass man eben komplexe Koeffizienten hat.
Viel Erfolg!
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Meinst du das so?
-2 = A+B+Cj+Dj
w = A+C(1-2j)+D(1+2j)
[mm] w^2 [/mm] = A+B+C(2-j)+D(2+j)
[mm] w^3 [/mm] = A+C+D
Aber was bringt mir das denn jetzt?
Danke!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Meinst du das so?
>
> -2 = A+B+Cj+Dj
>
> w = A+C(1-2j)+D(1+2j)
>
> [mm]w^2[/mm] = A+B+C(2-j)+D(2+j)
>
> [mm]w^3[/mm] = A+C+D
Nein, so meine ich das nicht.
Du sollst einen Koeffizientenvergleich durchführen. In den entstehenden Gleichung kommt keine Potenz von $w$ mehr vor, denn A,B,C,D sollen ja so bestimmt werden, dass die PBZ für jedes beliebige $w$ gilt - genauso wie das im Reellen doch auch gemacht wird.
Die einzige Gleichung oben, die richtig ist, ist die erste.
> Aber was bringt mir das denn jetzt?
Das oben bringt nichts, es ist ja auch falsch.
Du sollst ein lineares Gleichungssystem aufstellen, das ist alles.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Fr 01.02.2013 | | Autor: | OkiSchoki |
Niceeeeeeee :))).
Ich glaube, ich habs jetzt verstanden, habe genau die Ergebnisse wie aus der Musterlösung raus! Vielen vielen Dank. Falls ich noch Fragen habe, werde ich hier posten! :)
DANKE
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Fr 01.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Niceeeeeeee :))).
>
> Ich glaube, ich habs jetzt verstanden, habe genau die
> Ergebnisse wie aus der Musterlösung raus!
Na, super. So solls sein. Glückwunsch!
> Vielen vielen
> Dank. Falls ich noch Fragen habe, werde ich hier posten!
> :)
Mach das.
> DANKE
Gern geschehen. 
Grüße
reverend
|
|
|
|
