Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \int_{0}^{1} \frac{x^6 - 1}{x^6 + 1} [/mm] dx |
Es geht um die Berechnung der angegebenen gebrochenrationalen Funktion.
Die grundlegende Anwendung der Partialbruchzerlegung ist bekannt. Allerdings habe ich Schwierigkeiten hier die Nullstellen des Nennerpolynoms zu bestimmen, da hier die Nullstellen ja ausschließlich komplex sind. Ich hoffe mir kann jemand erklären wie ich am besten die Nullstellen des Nennerpolynoms bestimme. In der Übungsstd haben wir das irgendwie anhand des Einheitskreises gemacht, aber so richtig verstanden habe ich das nicht. Wenn mir jemand erklären könnte wie das gemacht wird oder einen Link wo ich das nachschauen kann, wäre ich sehr dankbar.
Die echt gebrochenrationale Funktion müsste nach meinen Berechnungen lauten 1 - [mm] \frac{2}{x^6 + 1}.
[/mm]
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Abend,
> Die grundlegende Anwendung der Partialbruchzerlegung ist
> bekannt. Allerdings habe ich Schwierigkeiten hier die
> Nullstellen des Nennerpolynoms zu bestimmen, da hier die
> Nullstellen ja ausschließlich komplex sind.
Gut erkannt.
> Ich hoffe mir
> kann jemand erklären wie ich am besten die Nullstellen des
> Nennerpolynoms bestimme.
Nö ;)
> In der Übungsstd haben wir das
> irgendwie anhand des Einheitskreises gemacht, aber so
> richtig verstanden habe ich das nicht. Wenn mir jemand
> erklären könnte wie das gemacht wird oder einen Link wo
> ich das nachschauen kann, wäre ich sehr dankbar.
>
> Die echt gebrochenrationale Funktion müsste nach meinen
> Berechnungen lauten 1 - [mm]\frac{2}{x^6 + 1}.[/mm]
Darauf kommt man, indem man die Polynomdivision durchführt. Soll heißen: Partialbruchzerlegung hilft nicht, wenn der Grad des Nennerpolynoms kleiner gleich ist als der vom Zählerpolynom.
Lösung: Polynomdivision.
Viel Erfolg.
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> Abend,
>
> > Die grundlegende Anwendung der Partialbruchzerlegung ist
> > bekannt. Allerdings habe ich Schwierigkeiten hier die
> > Nullstellen des Nennerpolynoms zu bestimmen, da hier die
> > Nullstellen ja ausschließlich komplex sind.
> Gut erkannt.
> > Ich hoffe mir
> > kann jemand erklären wie ich am besten die Nullstellen des
> > Nennerpolynoms bestimme.
> Nö ;)
> > In der Übungsstd haben wir das
> > irgendwie anhand des Einheitskreises gemacht, aber so
> > richtig verstanden habe ich das nicht. Wenn mir jemand
> > erklären könnte wie das gemacht wird oder einen Link wo
> > ich das nachschauen kann, wäre ich sehr dankbar.
> >
> > Die echt gebrochenrationale Funktion müsste nach meinen
> > Berechnungen lauten 1 - [mm]\frac{2}{x^6 + 1}.[/mm]
>
> Darauf kommt man, indem man die Polynomdivision
> durchführt. Soll heißen: Partialbruchzerlegung hilft
> nicht, wenn der Grad des Nennerpolynoms kleiner gleich ist
> als der vom Zählerpolynom.
>
> Lösung: Polynomdivision.
>
> Viel Erfolg.
Ja das ist mir alles klar. Ich würde nur gerne wissen, wie ich die Nullstellen in dem speziellen Fall bestimme. Das Prozedere der Partialbruchzerlegung ist bekannt. Im übrigen braucht man bei der Aufgabe nicht unbedingt eine Polynomdivision durchführen. Denn wenn der Grad des Zählers = Grad des Nenners ist so ist die echtberochenrationale Funktion 1 plus/minus Zähler - Nenner.
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Hallo,
> Ja das ist mir alles klar. Ich würde nur gerne wissen, wie
> ich die Nullstellen in dem speziellen Fall bestimme.
Ja, aber welche Nullstellen? Das Problem ist ja eben gerade, dass es keine reellen Nullstellen gibt, sondern nur komplexe. Daher auch die Bertachtung des Einheitskreises, um sich klar zu machen, wo auf selbigem die (in diesem Fall) sechs komplexen Nullstellen des Polynoms liegen.
> Das
> Prozedere der Partialbruchzerlegung ist bekannt.
Die wirst du jedenfalls benötigen. Man muss konjugiert komplexe Nullstellen von [mm] x^6+1 [/mm] zu Faktoren zusammenpfriemeln und vermutlich auch noch die eine oder andere Substitution durchführen. Bei der Substitution sage ich vermutlich, weil ich gerade an den Fall [mm] 1/(x^4+1) [/mm] denke, wo man dies definitiv tun muss.
Da ich zwar die prinzipielle Vorgehensweise kenne, auch ein Resultat habe aber die konkrete Rechnung noch nicht, stelle ich deine Frage mal auf teilweise beantwortet.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> > Ja das ist mir alles klar. Ich würde nur gerne wissen, wie
> > ich die Nullstellen in dem speziellen Fall bestimme.
>
> Ja, aber welche Nullstellen? Das Problem ist ja eben
> gerade, dass es keine reellen Nullstellen gibt, sondern nur
> komplexe. Daher auch die Bertachtung des Einheitskreises,
> um sich klar zu machen, wo auf selbigem die (in diesem
> Fall) sechs komplexen Nullstellen des Polynoms liegen.
>
> > Das
> > Prozedere der Partialbruchzerlegung ist bekannt.
>
> Die wirst du jedenfalls benötigen. Man muss konjugiert
> komplexe Nullstellen von [mm]x^6+1[/mm] zu Faktoren
> zusammenpfriemeln und vermutlich auch noch die eine oder
> andere Substitution durchführen. Bei der Substitution sage
> ich vermutlich, weil ich gerade an den Fall [mm]1/(x^4+1)[/mm]
> denke, wo man dies definitiv tun muss.
>
> Da ich zwar die prinzipielle Vorgehensweise kenne, auch ein
> Resultat habe aber die konkrete Rechnung noch nicht, stelle
> ich deine Frage mal auf teilweise beantwortet.
>
>
> Gruß, Diophant
Danke erstmal dafür. Die Polynomdivision ergibt [mm] x^4 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + 1 da ja [mm] x^2 [/mm] + 1 eine konjugiert komplexe Nullstelle des Nennerpolynoms ist. Jetzt habe ich [mm] x^2 [/mm] mit z Substituiert und wollte jetzt mit der p,q Formel die weiteren konjugiert komplexen Nullstellen bestimmen. Hier bekomme ich dann den Ausdruck [mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \pm \sqrt{-\frac{3}{4}}. [/mm] Kann mir jetzt vielleicht jemand sagen wie ich daraus die anderen beiden quadratischen Nullstellen bestimme. Für den Ansatz später brauche ich ja 3 quadratische Polynome. Hiervon ist eines ja schon bekannt mit [mm] x^2~+~1
[/mm]
Gruß, canogretic
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Hallo,
du könntest so ansetzen:
[mm] x^4-x^2+1=(x^2-a*x+1)*(x^2+a*x+1)
[/mm]
und daraus a bestimmen.
EDIT:
Besser ist aber der Tipp von reverend mit der Moivre-Formel, siehe dazu die folgende Mitteilung.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Sa 07.07.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
> du könntest so ansetzen:
>
> [mm]x^4-x^2+1=(x^2-a*x+1)*(x^2+a*x+1)[/mm]
>
> und daraus a bestimmen.
In diesen Ansatz geht aber schon viel Vorwissen ein.
Allgemeiner müsste man [mm] x^4-x^2+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) [/mm] ansetzen.
Das ist mit ein wenig Raten auch zu lösen.
Viel einfacher ist aber von vornherein der Ansatz über die  Moivre-Formel.
lg
rev
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Hallo canogretic,
die komplexen Nullstellen von [mm] x^6+1 [/mm] sind ja leicht zu finden (Moivre). Eine der Nullstellen ist offensichtlich x=i, und den Rest findest Du durch Drehung um 60°.
Geht es Dir denn um komplexe Partialbruchzerlegung? Hier wäre ja auch eine reelle möglich, denn
[mm] x^6+1=(x^2+1)(x^2+\wurzel{3}x+1)(x^2-\wurzel{3}x+1)
[/mm]
Diese Zerlegung steht natürlich in einem engen Zusammenhang mit der vollständigen mit komplexen Wurzeln...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Sa 07.07.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> [mm]x^6+1=(x^2+1)(x^2+\wurzel{3}x+1)(x^2-\wurzel{3}x+1)[/mm]
>
> Diese Zerlegung steht natürlich in einem engen
> Zusammenhang mit der vollständigen mit komplexen
> Wurzeln...
Das Stichwort für den Zusammenhang hast Du gerade selbst weiter oben gebracht: konjugiert komplexe (Wurzeln).
lg
rev
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> Hallo canogretic,
>
> die komplexen Nullstellen von [mm]x^6+1[/mm] sind ja leicht zu
> finden (Moivre). Eine der Nullstellen ist offensichtlich
> x=i, und den Rest findest Du durch Drehung um 60°.
>
> Geht es Dir denn um komplexe Partialbruchzerlegung? Hier
> wäre ja auch eine reelle möglich, denn
>
> [mm]x^6+1=(x^2+1)(x^2+\wurzel{3}x+1)(x^2-\wurzel{3}x+1)[/mm]
>
> Diese Zerlegung steht natürlich in einem engen
> Zusammenhang mit der vollständigen mit komplexen
> Wurzeln...
>
> Grüße
> reverend
>
Danke für den Hinweis. Es geht um die komplexe Partialbruchzerlegung. Ich weiß zwar nicht ob eine ähnliche Aufgabe Bestandteil der Klausur sein wird, aber es könnte zumindest sein und dann würde ich die Aufgabe gerne lösen können da die schon sehr viele Punkte einbringen wird. Partialbruchzerlegung mit einem Polynom welches nur reelle Nullstellen besitzt ist kein Problem das habe ich verstanden und ist auch ganz einfach. Habe halt nur Probleme mit diesen komplexen Nullstellen. Das bekomme ich irgendwie nicht in meinen Kopf wie das dabei gemacht wird.
Ich habe mir das ganze auch schon einmal bei WolframAlpha angeschaut und wenn ich mit das ganze anschaue erklären sich auch die von dir erwähnten 60 Grad. Wenn ich das richtig sehe müssten die Nullstellen bei 30, 90, 150, 210, 270 und 330 Grad liegen. Wie bestimme ich jetzt dadurch die Polynome für den Ansatz? Vielleicht könntest du mir auch noch kurz erklären wie du auf diese Polynome [mm] (x^2+\wurzel{3}x+1)~(x^2-\wurzel{3}x+1) [/mm] gekommen bist.
Vielen Dank
Gruß
canogretic
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Hallo nochmal,
> > die komplexen Nullstellen von [mm]x^6+1[/mm] sind ja leicht zu
> > finden (Moivre). Eine der Nullstellen ist offensichtlich
> > x=i, und den Rest findest Du durch Drehung um 60°.
> >
> > Geht es Dir denn um komplexe Partialbruchzerlegung? Hier
> > wäre ja auch eine reelle möglich, denn
> >
> > [mm]x^6+1=(x^2+1)(x^2+\wurzel{3}x+1)(x^2-\wurzel{3}x+1)[/mm]
> >
> > Diese Zerlegung steht natürlich in einem engen
> > Zusammenhang mit der vollständigen mit komplexen
> > Wurzeln...
> >
> >
> Danke für den Hinweis. Es geht um die komplexe
> Partialbruchzerlegung. Ich weiß zwar nicht ob eine
> ähnliche Aufgabe Bestandteil der Klausur sein wird, aber
> es könnte zumindest sein und dann würde ich die Aufgabe
> gerne lösen können da die schon sehr viele Punkte
> einbringen wird. Partialbruchzerlegung mit einem Polynom
> welches nur reelle Nullstellen besitzt ist kein Problem das
> habe ich verstanden und ist auch ganz einfach. Habe halt
> nur Probleme mit diesen komplexen Nullstellen. Das bekomme
> ich irgendwie nicht in meinen Kopf wie das dabei gemacht
> wird.
Das ist auch in der Tat nicht mehr leicht vorstellbar.
> Ich habe mir das ganze auch schon einmal bei WolframAlpha
> angeschaut und wenn ich mit das ganze anschaue erklären
> sich auch die von dir erwähnten 60 Grad. Wenn ich das
> richtig sehe müssten die Nullstellen bei 30, 90, 150, 210,
> 270 und 330 Grad liegen.
Ja, genau. Eben das besagt die Moivre-Formel - die Lösungen bilden ein regelmäßiges Sechseck um den Nullpunkt. Wenn man eine Ecke gefunden hat, dann auch alle anderen. Ich drehe mal von [mm] x_1=i [/mm] aus linksherum:
[mm] x_1=i
[/mm]
[mm] x_2=-\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i
[/mm]
[mm] x_3=-\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i
[/mm]
[mm] x_4=-i
[/mm]
[mm] x_5=\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i
[/mm]
[mm] x_6=\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i
[/mm]
> Wie bestimme ich jetzt dadurch die
> Polynome für den Ansatz? Vielleicht könntest du mir auch
> noch kurz erklären wie du auf diese Polynome
> [mm](x^2+\wurzel{3}x+1)~(x^2-\wurzel{3}x+1)[/mm] gekommen bist.
Klar. Aufgrund der Rotationssymmetrie ist man geneigt, diagonal gegenüberliegende Nullstellen zu verwenden, aber das klappt nur bei [mm] x_1, x_4. [/mm] Die nötige Symmetrie ist nämlich die Achsensymmetrie zur reellen Achse - sprich: wir brauchen Nullstellen, die zueinander konjugiert komplex sind.
Also:
mit [mm] x_1,x_4:\quad(x-i)(x+i)=x^2-i^2=x^2+1
[/mm]
mit [mm] x_2,x_3:\quad(x+\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i)(x+\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i)=x^2+\wurzel{3}x+\left(\bruch{1}{2}i-\bruch{1}{2}i\right)x+\left(\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i\right)\left(\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i\right)=
[/mm]
[mm] =x^2+\wurzel{3}x+\bruch{3}{4}-\bruch{1}{4}i^2=x^2+\wurzel{3}x+1
[/mm]
mit [mm] x_5,x_6:\quad(x-\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i)(x-\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i)=x^2-\wurzel{3}x+\left(\bruch{1}{2}i-\bruch{1}{2}i\right)x+\left(-\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i\right)\left(-\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i\right)=
[/mm]
[mm] =x^2-\wurzel{3}x+\bruch{3}{4}-\bruch{1}{4}i^2=x^2-\wurzel{3}x+1
[/mm]
Sieht nach mehr Arbeit aus, als es eigentlich ist.
Grüße
reverend
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> Hallo nochmal,
>
> > > die komplexen Nullstellen von [mm]x^6+1[/mm] sind ja leicht zu
> > > finden (Moivre). Eine der Nullstellen ist offensichtlich
> > > x=i, und den Rest findest Du durch Drehung um 60°.
> > >
> > > Geht es Dir denn um komplexe Partialbruchzerlegung? Hier
> > > wäre ja auch eine reelle möglich, denn
> > >
> > > [mm]x^6+1=(x^2+1)(x^2+\wurzel{3}x+1)(x^2-\wurzel{3}x+1)[/mm]
> > >
> > > Diese Zerlegung steht natürlich in einem engen
> > > Zusammenhang mit der vollständigen mit komplexen
> > > Wurzeln...
> > >
> > >
> > Danke für den Hinweis. Es geht um die komplexe
> > Partialbruchzerlegung. Ich weiß zwar nicht ob eine
> > ähnliche Aufgabe Bestandteil der Klausur sein wird, aber
> > es könnte zumindest sein und dann würde ich die Aufgabe
> > gerne lösen können da die schon sehr viele Punkte
> > einbringen wird. Partialbruchzerlegung mit einem Polynom
> > welches nur reelle Nullstellen besitzt ist kein Problem das
> > habe ich verstanden und ist auch ganz einfach. Habe halt
> > nur Probleme mit diesen komplexen Nullstellen. Das bekomme
> > ich irgendwie nicht in meinen Kopf wie das dabei gemacht
> > wird.
>
> Das ist auch in der Tat nicht mehr leicht vorstellbar.
>
> > Ich habe mir das ganze auch schon einmal bei WolframAlpha
> > angeschaut und wenn ich mit das ganze anschaue erklären
> > sich auch die von dir erwähnten 60 Grad. Wenn ich das
> > richtig sehe müssten die Nullstellen bei 30, 90, 150, 210,
> > 270 und 330 Grad liegen.
>
> Ja, genau. Eben das besagt die Moivre-Formel - die
> Lösungen bilden ein regelmäßiges Sechseck um den
> Nullpunkt. Wenn man eine Ecke gefunden hat, dann auch alle
> anderen. Ich drehe mal von [mm]x_1=i[/mm] aus linksherum:
>
> [mm]x_1=i[/mm]
>
> [mm]x_2=-\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i[/mm]
>
> [mm]x_3=-\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i[/mm]
>
> [mm]x_4=-i[/mm]
>
> [mm]x_5=\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i[/mm]
>
> [mm]x_6=\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i[/mm]
>
> > Wie bestimme ich jetzt dadurch die
> > Polynome für den Ansatz? Vielleicht könntest du mir auch
> > noch kurz erklären wie du auf diese Polynome
> > [mm](x^2+\wurzel{3}x+1)~(x^2-\wurzel{3}x+1)[/mm] gekommen bist.
>
> Klar. Aufgrund der Rotationssymmetrie ist man geneigt,
> diagonal gegenüberliegende Nullstellen zu verwenden, aber
> das klappt nur bei [mm]x_1, x_4.[/mm] Die nötige Symmetrie ist
> nämlich die Achsensymmetrie zur reellen Achse - sprich:
> wir brauchen Nullstellen, die zueinander konjugiert komplex
> sind.
>
> Also:
> mit [mm]x_1,x_4:\quad(x-i)(x+i)=x^2-i^2=x^2+1[/mm]
>
> mit
> [mm]x_2,x_3:\quad(x+\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i)(x+\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i)=x^2+\wurzel{3}x+\left(\bruch{1}{2}i-\bruch{1}{2}i\right)x+\left(\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i\right)\left(\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i\right)=[/mm]
>
> [mm]=x^2+\wurzel{3}x+\bruch{3}{4}-\bruch{1}{4}i^2=x^2+\wurzel{3}x+1[/mm]
>
> mit
> [mm]x_5,x_6:\quad(x-\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i)(x-\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i)=x^2-\wurzel{3}x+\left(\bruch{1}{2}i-\bruch{1}{2}i\right)x+\left(-\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i\right)\left(-\bruch{1}{2}\wurzel{3}-\bruch{1}{2}i\right)=[/mm]
>
> [mm]=x^2-\wurzel{3}x+\bruch{3}{4}-\bruch{1}{4}i^2=x^2-\wurzel{3}x+1[/mm]
>
> Sieht nach mehr Arbeit aus, als es eigentlich ist.
>
> Grüße
> reverend
>
Erst einmal recht herzlichen Dank an reverend für die bisherigen Infos. Jetzt ist schonmal so einiges klarer. Allerdings weiß ich noch nicht ganz wie ich von [mm] \angle{150} [/mm] auf [mm]x_2=-\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i[/mm] komme.
Ich weiß das [mm] $\angle{150} [/mm] = cos(150) + i sin(150)$ ist, aber mein Taschenrechner spuckt dann alles aus nur ebend nicht das angezeigte [mm] x_{2}
[/mm]
Gruß canogretic
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Hallo,
[mm] cos(150°)=-cos(30°)=-\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] sin(150°)=sin(30°)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Hilft dir das weiter? Je nach TR-Modell werden da halt u.U. einfach nur dezimale Näherungen ausgegeben.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Sa 07.07.2012 | | Autor: | reverend |
Ich finde ja, dass es mit dem Taschenrechner länger dauert also so von Hand mit exakten Werten. Und mir geht es dann auch noch so, dass ich mich öfter vertippe als verschreibe, die Fehlerquote mit dem Rechner also höher ist - sogar deutlich höher.
Ist aber bestimmt auch Geschmackssache oder Übung...
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Sa 07.07.2012 | | Autor: | canogretic |
> Ich finde ja, dass es mit dem Taschenrechner länger dauert
> also so von Hand mit exakten Werten. Und mir geht es dann
> auch noch so, dass ich mich öfter vertippe als
> verschreibe, die Fehlerquote mit dem Rechner also höher
> ist - sogar deutlich höher.
>
> Ist aber bestimmt auch Geschmackssache oder Übung...
>
> lg
> rev
>
Ahh ich glaube jetzt hab ich das verstanden. Der TR rechnet das ganze auch richtig wenn man die Winkel mit [mm] \pi [/mm] ausdrückt und das ganze in Radiant im TR berechnen lässt. Dann komme ich genau auf die angegeben Werte. Auf jedenfall ein herzlichen Dank an alle beteiligten ihr habt mir echt geholfen. Ich denke das ganze ist einfach Übungssache. Ich kenne jetzt nur nicht die cos und sin Werte für [mm] \frac{5}{6} \pi [/mm] und [mm] \frac{\pi}{6}.
[/mm]
Sonst wäre das alles kein Problem im Kopf gewesen. Anhand einer Zeichnung kann man sich das ganze dann ja ganz schnell klar machen.
Gruß canogretic
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Sa 07.07.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Ahh ich glaube jetzt hab ich das verstanden. Der TR rechnet
> das ganze auch richtig wenn man die Winkel mit [mm]\pi[/mm]
> ausdrückt und das ganze in Radiant im TR berechnen lässt.
> Dann komme ich genau auf die angegeben Werte. Auf jedenfall
> ein herzlichen Dank an alle beteiligten ihr habt mir echt
> geholfen.
Dazu ist das Forum ja da.
> Ich denke das ganze ist einfach Übungssache. Ich
> kenne jetzt nur nicht die cos und sin Werte für
> [mm]\frac{5}{6} \pi[/mm] und [mm]\frac{\pi}{6}.[/mm]
Ein paar sollte man kennen, jedenfalls die wenigen, die in unserer Wissensdatenbank unter trigonometrische Funktion stehen.
> Sonst wäre das alles kein Problem im Kopf gewesen. Anhand
> einer Zeichnung kann man sich das ganze dann ja ganz
> schnell klar machen.
Ja, das hilft. Für die Vorstellung von Nullstellen ist das aber leider immer noch nicht hilfreich. In komplexen Zahlen zu denken, gelingt wohl nur wenigen.
lg
rev
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Halbwinkelformeln
