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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mo 06.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Abend,
eine Frage an Euch.
[mm] \integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx
[/mm]
Zählergrad= Nennergrad -> Polynomdivision
[mm] x(x-1)(x^{2}+9)=x^4-x^3+9x^2-9x
[/mm]
[mm] (x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4-x^3+9x^2-9x^}
[/mm]
1.Nullstellen im Nenner:
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] x_{2}-1=0
[/mm]
[mm] x_{2}=1
[/mm]
[mm] x^{2}_{3,4}+9=0
[/mm]
[mm] x^{2}_{3,4}=-9
[/mm]
[mm] x^{2}_{3,4}=\pm3
[/mm]
2.Zuordenung der Partialbrüche:
[mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+9}
[/mm]
3.Partialbruchzerlegung (Ansatz):
[mm] \bruch{x^3+9x^2-9x-1}{(x)(x-1)(x^{2}-9)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+9}
[/mm]
4.Gleichnamig machen / kürzen:
[mm] x^3+9x^2-9x-1=A(x-1)(x^{2}+9)+B(x)(x^{2}+9)+(C(x)+D)(x)(x-1)
[/mm]
Ist das so richtig, ich denke nicht?!?
5.Einsetzmethode:
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] 0^3+9*0^2-9*0-1=-1
[/mm]
[mm] A(0-1)((-1)^{2}+9)=-10A
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] x_{2}=1
[/mm]
[mm] 1^3+9*1*^2-9*1-1=0
[/mm]
Nochmal meine Frage, nachdem ich schon einige gute Tipps bekommen habe!
Kann es passieren, dass dieser Wert 0 wird und B wegfällt? Ich muss mich irgendwie verrechnet haben!
Könnt Ihr mal schauen on Ihr den Fehler findet?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Berechnen Sie folgenden Ausdruck:
>
> [mm]\integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx[/mm]
> Guten
> Abend,
>
> eine Frage an Euch.
>
> [mm]\integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx[/mm]
>
> Zählergrad= Nennergrad -> Polynomdivision
>
> [mm]x(x-1)(x^{2}+9)=x^4-x^3+9x^2-9x[/mm]
>
> [mm](x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4x^3+9x^2-9x^}[/mm]
Das soll wohl so lauten:
[mm](x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4\blue{-}x^3+9x^2-9x^}[/mm]
> [mm]\underline{-(x^4-x^3+9x^2-9x)}[/mm]
> [mm]x^3+9x^2-9x-1[/mm]
>
> 1.Nullstellen im Nenner:
>
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>
> [mm]x_{2}-1=0[/mm]
>
> [mm]x_{2}=1[/mm]
>
> [mm]x^{2}_{3,4}+9=0[/mm]
>
> [mm]x^{2}_{3,4}=9[/mm]
>
Hier folgt doch zunächst: [mm]x^{2}=-9[/mm]
> [mm]x^{2}_{3,4}=\pm3[/mm]
>
> 2.Zuordenung der Partialbrüche:
>
> [mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-3}+\bruch{D}{x+3}[/mm]
>
Dieser Ansatz ist leider nicht ganz richtig.
> 3.Partialbruchzerlegung (Ansatz):
>
> [mm]\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x(x-1)(x-3)(x+3)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-3}+\bruch{D}{x+3}[/mm]
>
> 4.Gleichnamig machen / kürzen:
>
> [mm]x^3+9x^2-9x-1=A(x-1)(x-3)(x+3)+B(x)(x-3)(x+3)+C(x)(x-1)(x+3)+D(x)(x-1)(x-3)[/mm]
>
> 5.Einsetzmethode:
>
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>
> [mm]0^3+9*0^2-9*0-1=-1[/mm]
>
> A(0-1)(0-3)(0+3)=8A
>
> [mm]A=-\bruch{1}{8}[/mm]
>
> [mm]x_{2}=1[/mm]
>
> [mm]1^3+9*1*^2-9*1-1=0[/mm]
>
> Kann es passieren, dass dieser Wert 0 wird und B wegfällt?
> Ich muss mich irgendwie verrechnet haben!
>
> Könnt Ihr mal schauen on Ihr den Fehler findet?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
>
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mo 06.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Abend nochmal,
>
> > Berechnen Sie folgenden Ausdruck:
> >
> > [mm]\integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx[/mm]
> > Guten
> > Abend,
> >
> > eine Frage an Euch.
> >
> > [mm]\integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx[/mm]
> >
> > Zählergrad= Nennergrad -> Polynomdivision
> >
> > [mm]x(x-1)(x^{2}+9)=x^4-x^3+9x^2-9x[/mm]
> >
> >
> [mm](x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4x^3+9x^2-9x^}[/mm]
>
> Das soll wohl so lauten:
>
> [mm](x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4\blue{-}x^3+9x^2-9x^}[/mm]
>
>
> > [mm]\underline{-(x^4-x^3+9x^2-9x)}[/mm]
> > [mm]x^3+9x^2-9x-1[/mm]
> >
> > 1.Nullstellen im Nenner:
> >
> > [mm]x_{1}=0[/mm]
> >
> > [mm]x_{2}-1=0[/mm]
> >
> > [mm]x_{2}=1[/mm]
> >
> > [mm]x^{2}_{3,4}+9=0[/mm]
> >
> > [mm]x^{2}_{3,4}=9[/mm]
> >
>
>
> Hier folgt doch zunächst: [mm]x^{2}=-9[/mm]
>
>
> > [mm]x^{2}_{3,4}=\pm3[/mm]
> >
> > 2.Zuordenung der Partialbrüche:
> >
> > [mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-3}+\bruch{D}{x+3}[/mm]
> >
>
>
> Dieser Ansatz ist leider nicht ganz richtig.
Bei mir fällt der Groschen leider nicht, wie ist er denn richtig?
>
>
> > 3.Partialbruchzerlegung (Ansatz):
> >
> >
> [mm]\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x(x-1)(x-3)(x+3)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-3}+\bruch{D}{x+3}[/mm]
> >
> > 4.Gleichnamig machen / kürzen:
> >
> >
> [mm]x^3+9x^2-9x-1=A(x-1)(x-3)(x+3)+B(x)(x-3)(x+3)+C(x)(x-1)(x+3)+D(x)(x-1)(x-3)[/mm]
> >
> > 5.Einsetzmethode:
> >
> > [mm]x_{1}=0[/mm]
> >
> > [mm]0^3+9*0^2-9*0-1=-1[/mm]
> >
> > A(0-1)(0-3)(0+3)=8A
> >
> > [mm]A=-\bruch{1}{8}[/mm]
> >
> > [mm]x_{2}=1[/mm]
> >
> > [mm]1^3+9*1*^2-9*1-1=0[/mm]
> >
> > Kann es passieren, dass dieser Wert 0 wird und B wegfällt?
> > Ich muss mich irgendwie verrechnet haben!
> >
> > Könnt Ihr mal schauen on Ihr den Fehler findet?
> >
> > Vielen Dank!
> >
> > Gruß
> >
> > mbau16
> >
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo mbau16,
> Guten Abend nochmal,
> > >
> > > 2.Zuordenung der Partialbrüche:
> > >
> > > [mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-3}+\bruch{D}{x+3}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Dieser Ansatz ist leider nicht ganz richtig.
>
> Bei mir fällt der Groschen leider nicht, wie ist er denn
> richtig?
Da es bei [mm]x^{2}+9[/mm] um ein Polynom handelt,
das in [mm]\IR[/mm] keine Nullstellen hat, ist folgender Ansatz zu wählen:
[mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\blue{\bruch{Cx+D}{x^{2}+9}}[/mm]
> > > Gruß
> > >
> > > mbau16
> > >
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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Hallo mbau16,
> Guten Abend,
>
> eine Frage an Euch.
>
> [mm]\integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx[/mm]
>
> Zählergrad= Nennergrad -> Polynomdivision
>
> [mm]x(x-1)(x^{2}+9)=x^4-x^3+9x^2-9x[/mm]
>
> [mm](x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4-x^3+9x^2-9x^}[/mm]
>
> 1.Nullstellen im Nenner:
>
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>
> [mm]x_{2}-1=0[/mm]
>
> [mm]x_{2}=1[/mm]
>
> [mm]x^{2}_{3,4}+9=0[/mm]
>
> [mm]x^{2}_{3,4}=-9[/mm]
>
> [mm]x^{2}_{3,4}=\pm3[/mm]
>
> 2.Zuordenung der Partialbrüche:
>
> [mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+9}[/mm]
>
> 3.Partialbruchzerlegung (Ansatz):
>
> [mm]\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{(x)(x-1)(x^{2}-9)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+9}[/mm]
>
> 4.Gleichnamig machen / kürzen:
>
> [mm]x^3+9x^2-9x-1=A(x-1)(x^{2}+9)+B(x)(x^{2}+9)+(C(x)+D)(x)(x-1)[/mm]
>
> Ist das so richtig, ich denke nicht?!?
>
> 5.Einsetzmethode:
>
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>
> [mm]0^3+9*0^2-9*0-1=-1[/mm]
>
> [mm]A(0-1)((-1)^{2}+9)=-10A[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]A(0-1)((\red{0})^{2}+9)[/mm]
> [mm]A=\bruch{1}{10}[/mm]
>
> [mm]x_{2}=1[/mm]
>
> [mm]1^3+9*1*^2-9*1-1=0[/mm]
>
> Nochmal meine Frage, nachdem ich schon einige gute Tipps
> bekommen habe!
>
> Kann es passieren, dass dieser Wert 0 wird und B wegfällt?
Das kann passieren.
> Ich muss mich irgendwie verrechnet haben!
>
> Könnt Ihr mal schauen on Ihr den Fehler findet?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
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Gruss
MathePower
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