Partialbruchzerlegung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Sa 10.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | [mm] \integral{ \bruch{x^3-x^2-6x+5}{x^2-x-6}dx} [/mm] |
Als Nullstellen habe ich nun x1=3 und x2= -2 berechnet.
Nun, wie gehe ich aber vor wenn der Grad im Zähler größer ist als der im Nenner?
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Hiho,
> Nullstellen habe ich nun x1=3 und x2= -2 berechnet.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun, wie gehe ich aber vor wenn der Grad im Zähler
> größer ist als der im Nenner?
Mache eine Polynomdivision und dann hast du nur noch ein Integral der Form [mm] \bruch{1}{x^2 - x - 6} [/mm] zu lösen, was du mit Partialbruchzerlegung ja bestimmt hinbekommst 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Sa 10.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Aber die Nullstellen im Nenner sind doch nicht die Nullstellen im Zähler? Wie kann ich dann Polynomdivision machen?
[mm] \integral {\bruch{1}{x^2-x-6} dx}
[/mm]
erhalte ich
A= + (1/5) und B=(-1/5)
[mm] \integral [/mm] { [mm] \bruch{-1}{5x-15} [/mm] dx} + [mm] \integral [/mm] { [mm] \bruch{1}{5x+10} [/mm] dx}
Ist das korrekt? Und wenn ich dann das Integral berechne bekomm ich mein Ergebnis?
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Hallo zocca,
> Aber die Nullstellen im Nenner sind doch nicht die
> Nullstellen im Zähler? Wie kann ich dann Polynomdivision
> machen?
Wie bei jeder anderen Division. Wären Nullstellen des Nenners auch solche des Zählers, könntest Du kürzen, müsstest aber die betreffende Stelle noch gesondert untersuchen - ist die Funktion dort stetig ergänzbar? Das trifft im allgemeinen zu.
Ansonsten hast du halt eine Division mit Rest, wobei der Rest aber von der gesuchten Form ist, also mit Grad des Zählerpolynoms kleiner als Grad des Nennerpolynoms.
> [mm]\integral {\bruch{1}{x^2-x-6} dx}[/mm]
>
> erhalte ich
>
> A= + (1/5) und B=(-1/5)
Wo kommen denn die Fünftel her? Die habe ich nicht, sondern A=1, B=-1.
> [mm]\integral[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{-1}{5x-15}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx} + [mm]\integral[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{
> [mm]\bruch{1}{5x+10}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
Jetzt mach aber erstmal die Polynomdivision. Wie gesagt, geht sie nicht auf, sondern lässt einen Rest. Du brauchst aber beides, den Quotienten sowie den Rest.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 10.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Nochmal zur PBZ:
[mm] \integral {\bruch{1}{(x-3)(x+2)} dx} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x-3)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x+2)} [/mm]
So nun habe ich ja 2 Möglichkeiten: Zuhaltemethode
ich multipliziere mit (x-3) durch..
1/(x+2) = A + [mm] \bruch{B(x-3)}{(x+2)} [/mm] und wenn ich nun die 3 einsetze für x...erhalte ich 1/5=A
oder
1 = A(x+2) + B(x-3)
1= Ax+A2 +Bx - B3.....
Wo ist mein Fehler bei der PBZ?
Danke!
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Hallo nochmal,
die "Zuhaltemethode" habe ich nie begriffen, vielleicht weil sie Fallen stellt:
> [mm]\integral {\bruch{1}{(x-3)(x+2)} dx}[/mm] = [mm]\bruch{A}{(x-3)}[/mm] +
> [mm]\bruch{B}{(x+2)}[/mm]
>
> So nun habe ich ja 2 Möglichkeiten: Zuhaltemethode
>
> ich multipliziere mit (x-3) durch..
>
> 1/(x+2) = A + [mm]\bruch{B(x-3)}{(x+2)}[/mm] und wenn ich nun die
> 3 einsetze für x...erhalte ich 1/5=A
Wenn Du jetzt x=3 einsetzt, stellt sich heraus, dass Du direkt zuvor die ganze Gleichung mit Null multipliziert hast. Damit ist jedes beliebige Ergebnis möglich. Genau das gefällt mir an der Methode nicht, selbst wenn sie meistens funktionieren mag.
> oder
>
> 1 = A(x+2) + B(x-3)
> 1= Ax+A2 +Bx - B3.....
Viel besser. Jetzt Koeffizientenvergleich: alle x müssen verschwinden, also A+B=0. Für die absoluten Glieder gilt 2A-3B=1. Das ist ein einfaches LGS mit den Lösungen [mm] A=\bruch{1}{5} [/mm] und [mm] B=-\bruch{1}{5}.
[/mm]
> Wo ist mein Fehler bei der PBZ?
Hmm. Du hast Recht, und ich habe mich vorhin verrechnet.
Es war mein Fehler, nicht Deiner. Pardon.
> Danke!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Sa 10.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ok vielen Dank Reverend!
Und nun kann ich daraus das Integral bilden
[mm] \integral [/mm] $ [mm] \bruch{1}{5x-15} [/mm] $ + [mm] \integral [/mm] $ [mm] \bruch{-1}{5x+10} [/mm] $ und erhalte mein Ergebnis für die Integration meines Ausgangterms?
Danke
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Hallo zocca21,
> Ok vielen Dank Reverend!
>
> Und nun kann ich daraus das Integral bilden
>
> [mm]\integral[/mm] [mm]\bruch{1}{5x-15}[/mm] + [mm]\integral[/mm] [mm]\bruch{-1}{5x+10}[/mm]
> und erhalte mein Ergebnis für die Integration meines
> Ausgangterms?
Du musst ja noch den anderen ganzrationalen Anteil der PD integrieren, nicht nur den gebrochen rationalen Teil ...
Außerdem bitte nicht die [mm] $\frac{1}{5}$ [/mm] reinmultiplizieren, besser
[mm] $\frac{1}{5}\cdot{}\left[ \ \int{\frac{1}{x-3} \ dx} \ - \ \int{\frac{1}{x+2} \ dx} \ \right]$ [/mm] ...
Das kannst du direkt durch Hinsehen integrieren ...
Aber so ganz passt die 1 im Zähler dort nicht.
Schreibe mal das Ergebnis deiner PD hin, da bleibt nicht [mm] $\frac{1}{x^2-x-6}$, [/mm] sondern ...
>
> Danke
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Sa 10.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Bei der PD erhalte ich:
[mm] (x^3-x^2-6x+5) [/mm] : (x-3) = [mm] x^2+2x+(5 [/mm] als Rest)
Wie gehe ich denn mit dem Rest um?
[mm] (x^2+2x) [/mm] :(x+2) =x...
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Hallo nochmal,
> Bei der PD erhalte ich:
>
> [mm](x^3-x^2-6x+5)[/mm] : (x-3) = [mm]x^2+2x+(5[/mm] als Rest)
Meine Herren, du musst doch berechnen:
[mm] $(x^3-x^2-6x+5):(x^2-x-6)$
[/mm]
Damit bekommst du einen ganzrationalen Teil und einen gebrochen-rationalen (, der NICHT 1 im Zähler hat)
Und NUR mit dem gebr.-rat. Teil machst du das Tamtam mit der PBZ ...
>
> Wie gehe ich denn mit dem Rest um?
>
> [mm](x^2+2x) :(x^2+2x)[/mm] =1...
Keine Ahnung, was du hier veranstaltest ...
Gruß
schachuzipus
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