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| Aufgabe | Geben sie eine vollständige Partialbruchzerlegung von [mm] \bruch{2x^3+4x}{(x+1)^2*(x-1)^2}
[/mm]
an! |
Schritt 1 ist schon gemacht (Zerlegung des Nennerpolynoms)
[mm] \Rightarrow [/mm] Schritt 2:
[mm] \bruch{2x^3+4x}{(x+1)^2*(x-1)^2}=\bruch{A}{(x+1)^2}+\bruch{B}{(x-1)^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Schritt 3:
[mm] 2x^3+4x=A*(x-1)^2 [/mm] + [mm] B*(x+1)^2
[/mm]
Bis hierher komme ich allein, aber wie geht es jetzt weiter?
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> Geben sie eine vollständige Partialbruchzerlegung von
> [mm]\bruch{2x^3+4x}{(x+1)^2*(x-1)^2}[/mm]
> an!
> Schritt 1 ist schon gemacht (Zerlegung des
> Nennerpolynoms)
> [mm]\Rightarrow[/mm] Schritt 2:
>
> [mm]\bruch{2x^3+4x}{(x+1)^2*(x-1)^2}=\bruch{A}{(x+1)^2}+\bruch{B}{(x-1)^2}[/mm]
schritt 2 ist schon fehlerhaft
für jedes [mm] \frac{1}{(x-x_o)^n} [/mm] macht man den ansatz [mm] \frac{A_1}{(x-x_o)^1}+\frac{A_2}{(x-x_o)^2}+...+\frac{A_n}{(x-x_o)^n}
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Schritt 3:
> [mm]2x^3+4x=A*(x-1)^2[/mm] + [mm]B*(x+1)^2[/mm]
wenn schritt 2 dann richtig ist, setzt man in schritt 3 beliebige x ein (am besten die [mm] x_0) [/mm] und erhält genug gleichungen um die unbekannten zu bestimmen
>
> Bis hierher komme ich allein, aber wie geht es jetzt
> weiter?
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| Aufgabe | | Geben sie eine vollständige Partialbruchzerlegung von [mm] \bruch{2x^3+4x}{(x+1)^2*(x-1)^2}an! [/mm] |
Schritt 1 ist schon gemacht (Zerlegung des Nennerpolynoms in Linearfaktoren)
[mm] \RightarrowSchritt [/mm] 2:
[mm] \bruch{2x^3+4x}{(x+1)^2*(x-1)^2}=\bruch{A_{1}}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{A_{2}}{(x+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{A_{3}}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{A_{4}}{(x-1)^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Schritt 3:
[mm] 2x^3+4x=A_{1}*(x+1)(x-1)^2 [/mm] + [mm] A_{2}*(x-1)^2 [/mm] + [mm] A_{3}*(x-1)(x+1)^2 [/mm] + [mm] A_{4}*(x+1)^2
[/mm]
[mm] 2x^3+4x=A_{1}*(x^3-x^2-x-1) [/mm] + [mm] A_{2}*(x^2-2x+1) [/mm] + [mm] A_{3}*(x^3+x^2-x-1) [/mm] + [mm] A_{4}*(x^2+2x+1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Schritt 4:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \\ A_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Und dann nur noch auflösen. Geht das so?
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Ja,
ich habe keinen Fehler entdeckt!
Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Do 10.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Geben sie eine vollständige Partialbruchzerlegung von
> [mm]\bruch{2x^3+4x}{(x+1)^2*(x-1)^2}an![/mm]
> Schritt 1 ist schon gemacht (Zerlegung des Nennerpolynoms
> in Linearfaktoren)
> [mm]\RightarrowSchritt[/mm] 2:
>
> [mm]\bruch{2x^3+4x}{(x+1)^2*(x-1)^2}=\bruch{A_{1}}{(x+1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{A_{2}}{(x+1)^2}[/mm] + [mm]\bruch{A_{3}}{(x-1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{A_{4}}{(x-1)^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Schritt 3:
> [mm]2x^3+4x=A_{1}*(x+1)(x-1)^2[/mm] + [mm]A_{2}*(x-1)^2[/mm] +
> [mm]A_{3}*(x-1)(x+1)^2[/mm] + [mm]A_{4}*(x+1)^2[/mm]
Setze hier einmal x=1 und dann x = -1. Daraus erhäst Du schon mal [mm] A_4 [/mm] und [mm] A_2
[/mm]
FRED
> [mm]2x^3+4x=A_{1}*(x^3-x^2-x-1)[/mm] + [mm]A_{2}*(x^2-2x+1)[/mm] +
> [mm]A_{3}*(x^3+x^2-x-1)[/mm] + [mm]A_{4}*(x^2+2x+1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Schritt 4:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 & 1 }[/mm]
> * [mm]\vektor{A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \\ A_{4}}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
> Und dann nur noch auflösen. Geht das so?
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