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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Back-Up |
Hallo,
Thema: Integration rationaler Funktionen mithilfe der Partialbruchzerlegung
Aufgabe:
Bestimme A, B [mm] \in \IR [/mm] so, dass [mm] \bruch{3x+4}{(x-1)(x+2)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2} [/mm] ist.
Lösung:
Es ist [mm] \bruch{3x+4}{(x-1)(x+2)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2}=\bruch{(A+B)x+(2A-B)}{(x-1)(x+2)}, [/mm] also 3x+4=(A+B)x+(2A-B).
Frage: Warum gilt das folgende und wie kommt man darauf?:
A+B=3
2A-B=4
[mm] A=\bruch{7}{3}
[/mm]
[mm] B=\bruch{2}{3}
[/mm]
Ich verstehe die Lösung nicht. Kann mir jemand helfen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Max |
> Hallo,
Hallo
> Thema: Integration rationaler Funktionen mithilfe der
> Partialbruchzerlegung
>
> Aufgabe:
> Bestimme A, B [mm]\in \IR[/mm] so, dass
> [mm]\bruch{3x+4}{(x-1)(x+2)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2}[/mm]
> ist.
>
> Lösung:
> Es ist
> [mm]\bruch{3x+4}{(x-1)(x+2)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2}=\bruch{(A+B)x+(2A-B)}{(x-1)(x+2)},[/mm]
> also $3x+4=(A+B)x+(2A-B)$.
>
> Frage: Warum gilt das folgende und wie kommt man darauf?:
> $A+B=3$
> $2A-B=4$
Naja, ist dir denn klar, dass $3x+4=(A+B)x+(2A-B)$ gilt (weil zwei Brüche mit gleichem Nenner dann gleich sind, wenn auch die Zähler gleich sind)?
Diese Gleichung dort soll ja immer und für alle $x$ gelten, d.h. das Polynom $3x+4$ und das Polynom $(A+B)x+(2A-B)$ sind gleich. Zwei Polynome sind aber nur dann gleich, wenn die Koeffizienten gleich sind, daraus folgen dann die beiden Gleichungen.
>
> [mm]A=\bruch{7}{3}[/mm]
>
> [mm]B=\bruch{2}{3}[/mm]
Diese beiden Lösungen erhält man dann, wenn man dass Gleichungssystem $A+B=3$ und $2A-B=4$ löst.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Back-Up |
Soweit habe ich es, glaube ich, verstanden. Verstanden habe ich nicht, wie man auf A+B für die 3 und die 2A-B für die 4 kommt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Back-Up |
Wie ich auf A und B komme, wenn mir A+B=3 und 2A-B=4 bekannt ist, habe ich jetzt verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Max |
> Soweit habe ich es, glaube ich, verstanden. Verstanden habe
> ich nicht, wie man auf A+B für die 3 und die 2A-B für die 4
> kommt.
Du hast doch zwei Polynome: [mm] $3\cdot x^1 [/mm] + [mm] 4\cdot x^0$ [/mm] und [mm] $(A+B)\cdot x^1 [/mm] + [mm] (2A-B)\cdot x^0$. [/mm] Wenn die beiden Polynome gleich sein sollen - und das wollen wir ja gerade haben, dann muss gelten, dass eben $3=A+B$ und $4=2A-B$ gilt.
Ich kann mich nur noch wiederholen.
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Back-Up |
Ich glaube du hast mich noch nicht verstanden. Vielleicht ist es zu simpel. Also nochmal:
3x+4=(A+B)x+(2A-B)
Warum ist das so und heißt nicht etwa (unsinnigerweise)
3x+4=(5A+2B)x+(A-B)
Ich verstehe nicht, wie man auf das A+B und 2A-B kommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Max |
Achso *flachehandaufstirnprallgeräusch*
Das ist natürlich leicht erklärt:
$ [mm] \bruch{3x+4}{(x-1)(x+2)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2}$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{3x+4}{(x-1)(x+2)}=\bruch{A(x+2)}{(x-1)(x+2)}+\bruch{B(x-1)}{(x-1)(x+2)}$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{3x+4}{(x-1)(x+2)}=\bruch{Ax+2A+Bx-B}{(x-1)(x+2)}$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{3x+4}{(x-1)(x+2)}=\bruch{(A+B)x+(2A-B)}{(x-1)(x+2)} [/mm] $
[mm] $\gdw [/mm] 3x+4=(A+B)x+(2A-B) $
Von der vorletzten Zeile zur leztzen hat man mit $(x-1)(x+2)$ multipliziert (gilt für [mm] $x\neq [/mm] 1$ und [mm] $x\neq [/mm] -2$).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Back-Up |
Ich habe es verstanden. Vielen, vielen Dank. Ich werde jetzt mal schauen, ob ich das auf andere Aufgaben anwenden kann.
Gruß
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