Partialbruchzerlegung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Di 16.06.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi,
Ich möchte gerne diesen Bruch in Partialbrüche zerlegen: [mm] \bruch{1}{1+t^2-t}. [/mm] Nun hat der Nenner keine reelle Nullstelle, aber es gibt wohl auch Tricks wie man um die komplexen Zahlen herumkommt?
Wüsstet ihr da einen Ansatz/Weg?
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Hallo,
worum geht's denn überhaupt?
Möchtest Du integrieren?
Gruß v. Angela
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Hallo Pille,
da gibt es keinen Trick. Im Reellen bist Du an dieser Stelle mit der Partialbruchzerlegung fertig, das Polynom ist irreduzibel.
Wahrscheinlich meinst Du so etwas, wo ein nullstellenfreies Polynom vierten Grades in zwei Faktoren zweiten Grades, die ebenfalls keine Nullstelle aufweisen, zerlegt wird.
Ein einfaches Beispiel:
[mm] x^4+4=x^4\blue{+4x^2}+4\blue{-4x^2}=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)=((x+1)^2+1)((x-1)^2+1)
[/mm]
In Deinem Fall funktioniert das allerdings nicht - wie auch: eine Zerlegung kann ja dann höchstens noch in zwei Linearfaktoren geschehen, und die haben immer eine Nullstelle.
Liebe Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Di 16.06.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Stellen Sie [mm] a_n [/mm] in geschlossener Form da:
[mm] a_n [/mm] = [mm] 3*a_{n-1}-a_{n-2} [/mm] mit [mm] a_0=0,a_1=1 [/mm] |
Hmm dann komme ich bei der Frage oben nicht direkt weiter.
Ansatz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nt^n [/mm] = [mm] a_0+a_1+\summe_{n=2}^{\infty}(3*a_{n-1}-a_{n-2})t^n [/mm] = a(t)
[mm] \Rightarrow [/mm] a(t) = $ [mm] \bruch{1}{1+t^2-t}. [/mm] $
So nun verstand ich unter "geschlossene Form", eine Form, wo man für [mm] a_n [/mm] ein nicht rekursives Bildungsgesetz für rausbekommt.
Im Skript läuft das dann so, dass man den Bruch wieder so Umformt, dass man (rückwärts) wieder eine Ausdruck mit Summe und [mm] t^n [/mm] bekommt, also so: a(t) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_nt^n [/mm] wobei dann [mm] b_n [/mm] die geschlossene Form von [mm] a_n [/mm] wäre.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Stellen Sie [mm]a_n[/mm] in geschlossener Form da:
> [mm]a_n[/mm] = [mm]3*a_{n-1}-a_{n-2}[/mm] mit [mm]a_0=0,a_1=1[/mm]
> Hmm dann komme ich bei der Frage oben nicht direkt
> weiter.
> Ansatz:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nt^n[/mm] =
> [mm]a_0+a_1+\summe_{n=2}^{\infty}(3*a_{n-1}-a_{n-2})t^n[/mm] = a(t)
Bei [mm] a_1 [/mm] fehlt das t ! Der 2. Summand ist also $a_1t$
> [mm]\Rightarrow[/mm] a(t) = [mm]\bruch{1}{1+t^2-t}.[/mm]
Ohne jede Gewähr: ich habe
$ a(t) = [mm] \bruch{t}{1+t^2-3t}$
[/mm]
FRED
>
> So nun verstand ich unter "geschlossene Form", eine Form,
> wo man für [mm]a_n[/mm] ein nicht rekursives Bildungsgesetz für
> rausbekommt.
> Im Skript läuft das dann so, dass man den Bruch wieder so
> Umformt, dass man (rückwärts) wieder eine Ausdruck mit
> Summe und [mm]t^n[/mm] bekommt, also so: a(t) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_nt^n[/mm] wobei dann [mm]b_n[/mm] die geschlossene
> Form von [mm]a_n[/mm] wäre.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 16.06.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ah hm ja, auf das Ergebnis komme ich nun auch. Nur komme ich immernoch nicht wirklich weiter:
a(t) = [mm] \bruch{t}{1+t^2-3t}
[/mm]
Nullstellen des Nenners: [mm] t=\wurzel[2]{1,25}+1,5 [/mm] v [mm] t=-\wurzel[2]{1,25}+1,5
[/mm]
Nun Partialbruchzerlegung:
a(t) = [mm] \bruch{t}{1+t^2-3t} [/mm] = [mm] \bruch{t}{(t-(\wurzel[2]{1,25}+1,5)(t-(-\wurzel[2]{1,25}+1,5))} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(t-(\wurzel[2]{1,25}+1,5)}+\bruch{B}{(t-(-\wurzel[2]{1,25}+1,5))} \Rightarrow A=\bruch{t}{2\wurzel{1,25}} [/mm] und [mm] B=-\bruch{t}{2\wurzel{1,25}} \Rightarrow \bruch{(\bruch{t}{2\wurzel{1,25}})}{t-(\wurzel{1,25}+1,5)} [/mm] - [mm] \bruch{(\bruch{t}{2\wurzel{1,25}})}{t-(-\wurzel{1,25}+1,5)}
[/mm]
Also im Skript wird dann so vorgegangen, dass man beides in eine bekannte Form bringt, also eine Form die einer erzeugenden Funktion einer Summe entspricht. Dann schreibt man die erzeugenden Funktion wieder als Summe, zieht die Summen zusammen und fertig ist man. Nur irgendwie finde ich hier die passende Umformung gerade nicht oder mache etwas anderes falsch?! Vielleicht ein Rechenfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast
[mm] $\bruch{t}{t^2-3t+1} [/mm] = [mm] \bruch{A}{t-a}+\bruch{B}{t-b}$
[/mm]
Weiter:
[mm] $\bruch{A}{t-a}= \bruch{-A}{a}*\bruch{1}{1-\bruch{t}{a}}= \bruch{-A}{a}\summe_{n=0}^{\infty}(t/a)^n$
[/mm]
und analog
[mm] $\bruch{B}{t-b}= \bruch{-B}{b}\summe_{n=0}^{\infty}(t/b)^n$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Di 16.06.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hmm wow, auf die Umformung wäre ich wahrscheinlich so schnell nicht gekommen, wenn ich sie überhaupt gefunden hätte. Danke!!
Also ich komme als Lösung dann auf:
[mm] \bruch{t}{t^2-3t+1} [/mm] = [mm] \bruch{A}{t-a}+\bruch{B}{t-b} [/mm] = [mm] \bruch{-A}{a}\summe_{n=0}^{\infty}(t/a)^n [/mm] + [mm] \bruch{-B}{b}\summe_{n=0}^{\infty}(t/b)^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{-A}{a^{n+1}}*t^n+\bruch{-B}{b^{n+1}}t^n)
[/mm]
[mm] t^n [/mm] ausklammern und man bekommt als geschlossene Form für [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{-A}{a^{n+1}}-\bruch{B}{b^{n+1}}
[/mm]
So richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hmm wow, auf die Umformung wäre ich wahrscheinlich so
> schnell nicht gekommen, wenn ich sie überhaupt gefunden
> hätte.
Vergiss niemals: [mm] $\bruch{1}{1-q}=\summe_{n=0}^{\infty}q^n$ [/mm] für $|q|<1$
> Danke!!
> Also ich komme als Lösung dann auf:
> [mm]\bruch{t}{t^2-3t+1}[/mm] = [mm]\bruch{A}{t-a}+\bruch{B}{t-b}[/mm] =
> [mm]\bruch{-A}{a}\summe_{n=0}^{\infty}(t/a)^n[/mm] +
> [mm]\bruch{-B}{b}\summe_{n=0}^{\infty}(t/b)^n[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{-A}{a^{n+1}}*t^n+\bruch{-B}{b^{n+1}}t^n)[/mm]
> [mm]t^n[/mm] ausklammern und man bekommt als geschlossene Form für
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{-A}{a^{n+1}}-\bruch{B}{b^{n+1}}[/mm]
>
> So richtig?
Ja
FRED
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