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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Di 22.07.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Führen Sie für die folgende Funktion die Partialbruchzerlegung durch, bestimmen Sie ihren Defintions- und Wertebereich, ihre Nullstellen, ihre Asymptote sowie die Schnittpunkte des Graphen mit der Asymptote.
[mm] f(x)=\bruch{2x^3-x^2-2x+1}{1-x^2} [/mm] |
Also zunächst habe ich die NST vom Nenner bestimmt...
[mm] x_1_/_2=\pm [/mm] 1
Das sind auch beides Nullstellen vom Zähler.
Dann übers Horner Schema mit 1
[mm] \qquad [/mm] |2 [mm] \qquad [/mm] -1 [mm] \qquad-2 \qquad [/mm] 1
[mm] \qquad [/mm] |
1 [mm] \qquad |\qquad [/mm] 2 [mm] \qquad [/mm] 1 [mm] \qquad [/mm] -1 [mm] \qquad [/mm] 0
bleibt über
[mm] \to 2x^2+1x-1
[/mm]
Dannn hätte ich ja einfach nur eine Gerade die eine NST bei bei [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] mit der Steigung -2 hat.
geteilt durch 2:
[mm] x^2+\bruch{1}{2}*x-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \to [/mm] p/q-Formel [mm] x_1_/_2=-\bruch{1}{4}\pm\sqrt{\bruch{1}{16}+\bruch{8}{16}}
[/mm]
[mm] x_1_/_2=-\bruch{1}{4}\pm\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] x_2=-1
[/mm]
[mm] \to 2x^3-x^2-2x+1=2(x-1)(x+1)(x-\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{2x^3-x^2-2x+1}{1-x^2}=\bruch{2(x-1)(x+1)(x-\bruch{1}{2})}{1-x^2}=\bruch{2(x^2-1)(x-\bruch{1}{2})}{1-x^2}
[/mm]
kann ich dann so dass - ausklammern?
[mm] =\bruch{-2(1-x^2)(x-\bruch{1}{2})}{1-x^2}=-2*(x-\bruch{1}{2})=
[/mm]
-2x+1?
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> Führen Sie für die folgende Funktion die
> Partialbruchzerlegung durch, bestimmen Sie ihren
> Defintions- und Wertebereich, ihre Nullstellen, ihre
> Asymptote sowie die Schnittpunkte des Graphen mit der
> Asymptote.
>
> [mm]f(x)=\bruch{2x^3-x^2-2x+1}{1-x^2}[/mm]
> Also zunächst habe ich die NST vom Nenner bestimmt...
> [mm]x_1_/_2=\pm[/mm] 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das sind auch beides Nullstellen vom Zähler.
> Dann übers Horner Schema mit 1
> [mm]\qquad[/mm] |2 [mm]\qquad[/mm] -1 [mm]\qquad-2 \qquad[/mm] 1
> [mm]\qquad[/mm] |
> 1 [mm]\qquad |\qquad[/mm] 2 [mm]\qquad[/mm] 1 [mm]\qquad[/mm] -1 [mm]\qquad[/mm] 0
>
> bleibt über
> [mm]\to 2x^2+1x-1[/mm]
>
> Dannn hätte ich ja einfach nur eine Gerade die eine NST bei
> bei [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] mit der Steigung -2 hat.
> geteilt durch 2:
> [mm]x^2+\bruch{1}{2}*x-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\to[/mm] p/q-Formel
> [mm]x_1_/_2=-\bruch{1}{4}\pm\sqrt{\bruch{1}{16}+\bruch{8}{16}}[/mm]
>
> [mm]x_1_/_2=-\bruch{1}{4}\pm\bruch{3}{4}[/mm]
> [mm]x_1=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]x_2=-1[/mm]
>
> [mm]\to 2x^3-x^2-2x+1=2(x-1)(x+1)(x-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> [mm]f(x)=\bruch{2x^3-x^2-2x+1}{1-x^2}=\bruch{2(x-1)(x+1)(x-\bruch{1}{2})}{1-x^2}=\bruch{2(x^2-1)(x-\bruch{1}{2})}{1-x^2}[/mm]
>
> kann ich dann so dass - ausklammern?
>
> [mm]=\bruch{-2(1-x^2)(x-\bruch{1}{2})}{1-x^2}=-2*(x-\bruch{1}{2})=[/mm]
> -2x+1?
Dein Lösungsweg erscheint mir nur etwas gar mühsam: Du hättest auch einfach die Polynomdivision durchführen können. Dass diese Polynomdivision ohne Rest aufgehen muss, hast Du ja schon gemerkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Di 22.07.2008 | | Autor: | tedd |
Hm das stimmt natürlich...hmmm
Naja danke fürs drüberschauen aufjedenfall ;)
besten Gruß,
tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 22.07.2008 | | Autor: | tedd |
Achja um die Aufgabenstellung zu beantworten wäre dann
[mm] D_f=\IR
[/mm]
[mm] W_f=\IR
[/mm]
NST bei [mm] x=\bruch{1}{2}
[/mm]
Und wäre die Asymptote dann der Graph selber die dann natürlich auch unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graphen hat?
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> Achja um die Aufgabenstellung zu beantworten wäre dann
> [mm]D_f=\IR[/mm]
Nicht ganz: Du verwendest hier den Definitionsbereich der stetigen Fortsetzung der gegebenen Funktion. Aber streng genommen ist die gegebene Funktion bei den Nullstellen [mm] $x_{1,2}=\pm [/mm] 1$ des Nenners nicht definiert. Also ist meiner unmassgeblichen Meinung nach [mm] $D_f=\IR\backslash\{-1;+1\}$
[/mm]
> [mm]W_f=\IR[/mm]
Auch hier musst ich ein Fragezeichen machen: Die Werte [mm] $f(1)=-2\cdot [/mm] 1+1=-1$ und [mm] $f(-1)=-2\cdot [/mm] (-1)+1=3$ fehlen eigentlich im Wertebereich der ursprünglichen Funktion: denn an den Stellen [mm] $x=\pm [/mm] 1$ ist sie, wie gesagt, streng genommen nicht definiert. Also wäre meiner Meinung nach [mm] $W_f=\IR\backslash\{-1;3\}$
[/mm]
> NST bei [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm]
> Und wäre die Asymptote dann der Graph selber die dann
> natürlich auch unendlich viele Schnittpunkte mit dem
> Graphen hat?
Ja, ich denke, dies ist richtig: der Graph einer linearen Funktion ist seine eigene (hier schiefe) Asymptote. Ob man bei den Punkten von $y=f(x)$ von Schnittpunkten mit der Asymptote (mit sich selbst) sprechen kann, ist mir aber Moment eher weniger klar. Ich meine: man unterscheidet oft schneiden von berühren. In diesem Sinne berühren sich $y=f(x)$ und die Asymptote $y=-2x+1$ unendlich oft - aber schneiden sie sich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Mi 23.07.2008 | | Autor: | tedd |
Okay!
Danke für die Hilfe ;)
Gruß,
tedd
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