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Hallo,
ich bin heute auf eine Funktion f mit f(x)= [mm] (x^2)/(x+1)^2
[/mm]
gestoßen.
Die wollte ich integrieren.
Die funktion hat mich angelächelt und mir "Partialbruchzerlegung" zugeflüstert.
Also meine Rechnung lautet:
[mm] (x^2)/(x+1)^2 [/mm] = [mm] A/(x+1)^2 [/mm] + B/(x+1)
den rechten Term habe ich auf einen Nenner gebracht:
[mm] (x^2)/(x+1)^2 [/mm] = ( A(x+1) + [mm] B(x+1)^2 [/mm] ) / [mm] (x+1)*(x+1)^2
[/mm]
Meine Frage ist jetzt, ob ich den linken Term, "angleichen" soll, d.h. ihn mit (x+1) erweitern, damit er denselben Nenner wie mein linker Term hat. Dann taucht aber das Problem auf, dass beim Koeffizientenvergleich folgendes steht:
[mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] = Ax + A + [mm] Bx^2 [/mm] + 2Bx + B
Bishierhin richtig?
Ich denke nicht, wenn im Koeffizientenvergleich müsste im rechten Term auf was mit ^3 stehen, tut es nicht.
Wenn ich nicht mit (x+1) erweiter bringt es mir auch nichts, denn
dann lautet der Koeffizientenvergleich:
[mm] x^2 [/mm] = Ax + A + [mm] Bx^2 [/mm] + 2Bx + B
Damit müsste A=0 sein und B=1, aber für b=1 erhalte ich auch noch die Konstante 1...
Das kann also auch nicht richtig sein. Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt???
dancing estrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Fr 09.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe dancingestrella!
> ich bin heute auf eine Funktion f mit f(x)= [mm] (x^2)/(x+1)^2 [/mm] gestoßen.
> Die wollte ich integrieren.
> Die funktion hat mich angelächelt und mir
> "Partialbruchzerlegung" zugeflüstert.
Aha, und daraufhin hast du dich also um die Funktion gekümmert. Diese Anmache müsste ich mir glatt merken, wenn ich noch auf der Suche wäre. 
> Also meine Rechnung lautet:
> [mm] (x^2)/(x+1)^2 [/mm] = [mm] A/(x+1)^2 [/mm] + B/(x+1)
> den rechten Term habe ich auf einen Nenner gebracht:
> [mm] (x^2)/(x+1)^2 [/mm] = ( A(x+1) + [mm] B(x+1)^2 [/mm] ) / [mm] (x+1)*(x+1)^2
[/mm]
Mach es so:
[mm]\frac{x^2}{(x+1)^2} = \frac{A + B(x+1) + C(x+1)^2}{(x+1)^2}[/mm].
Das sollte funktionieren... (Auch wenn ich es jetzt nicht ausprobiert habe.)Melde dich mal mit einem Lösungsvorschlag.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Sa 10.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo dancing estrella
> Hallo,
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> ich bin heute auf eine Funktion f mit [mm]f(x)= (x^2)/(x+1)^2[/mm]
> gestoßen.
> Die wollte ich integrieren.
> Die Funktion hat mich angelächelt und mir
> "Partialbruchzerlegung" zugeflüstert.
Du solltest nicht gleich so unvorbereitet auf ein freundliches Lächeln hereinfallen. Die Idee Partialbruchzerlegung ist zwar nicht falsch, aber verfrüht.
Merke dir: die Partialbruchzerlegung geht nur, wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als jener des Nennerpolynoms. In vorliegendem Falle sind aber beide gleich, nämlich 2.
Es braucht also noch eine kleine Vorbereitung: du musst Zähler durch Nenner ausdividieren, bis beim Dividieren eine konstante Zahl entsteht (also nicht mehr x hoch irgendwas). Als letzten Summanden deines ausgerechneten Quotienten schreibst du einfach noch den "Rest der Division" geteilt durch den Nenner hin.
Bei deinem Beispiel, damit meine verworrene Erklärung vielleicht klar wird:
dividiere [mm] x^2 [/mm] durch [mm] (x^2+2x+1), [/mm] dies ergibt:
[mm]x^2 : (x^2+2x+1) = 1 + \bruch {-2x-1} {(x+1)^2} = 1 - \bruch {2x+1} {(x+1)^2}[/mm]
(Die alleinstehende 1 auf der rechten Seite ist die weiter oben angesprochene konstante Zahl).
Jetzt kannst du so vorgehen:
[mm]\int (1 - \bruch {2x+1} {(x+1)^2}) \, dx [/mm] = [mm]x - \int { \bruch {2x+1} {(x+1)^2} }\, dx [/mm]
das verbleibende Integral rechterhand lächelt dir jetzt ohne tückische Hintergedanken zu! Vergiss aber im Falle des unbestimmten Integrals bitte die Integrationskonstante nicht. Ich schreibe sie jeweils wegen akuter Schreibfaulheit nicht hin.
Vielleicht noch ein anderes Beispiel: hätte deine lächelnde Funktion z.B. [mm]\bruch {x^3} {(x+1)^2} [/mm] geheissen, so hätte das Ausdividieren folgendes ergeben:
[mm]x - 2 + \bruch {x+2} {(x+1)^2}[/mm]
Das ist natürlich falsch (und niemand hats gemerkt (nachgerechnet?)
Richtig ist natürlich:
[mm]x - 2 + \bruch {3x+2} {(x+1)^2}[/mm]
Alles klar? Wenn nicht, meldest du dich halt wieder!
Viele Grüsse
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Hallo!
Danke für den Tipp mit der Polynomdivision.
Im weiteren habe ich dann f noch anders umschrieben, nämlich mit:
f(x)= 1 - [mm] (2x+2)/(x^2+2x+1) [/mm] - [mm] 1/(x^2+2x+1)
[/mm]
Das hat den Vorteil, dass im zweiten Term im Zähler die Ableitung des Nenners steckt und im dritten Term der Zähler konstant ist. So erspare ich mir die Partialbruchzerlegung.
F(x)= x - [mm] ln(x^2+2x+1) [/mm] - 1/(2x+2) [mm] ln(x^2+2x+1)
[/mm]
ich denke so müsste es richtig sein. Vielen Dank für die Hilfe!
dancingestrella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Di 13.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo dancing estrella
> Hallo!
>
> Danke für den Tipp mit der Polynomdivision.
Gern geschehen!
> Im weiteren habe ich dann f noch anders umschrieben,
> nämlich mit:
> f(x)= 1 - [mm] (2x+2)/(x^2+2x+1) [/mm] - [mm] 1/(x^2+2x+1)
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist eine sehr gute Idee. Es ist generell so, dass man vor der Partialbruchzerlegung zuerst nach anderen Möglichkeiten Ausschau halten soll,
und dazu ist die Formel [mm]\int{\bruch{f'(x)}{f(x)} \, dx}=\ln{|f(x)|}[/mm]
sehr oft nützlich!
> Das hat den Vorteil, dass im zweiten Term im Zähler die
> Ableitung des Nenners steckt und im dritten Term der Zähler
> konstant ist. So erspare ich mir die
> Partialbruchzerlegung.
> F(x)= x - [mm] ln(x^2+2x+1) [/mm] - 1/(2x+2) [mm] ln(x^2+2x+1)
[/mm]
Da bin ich nicht mehr gleicher Meinung. Mit dem ersten Term zwar schon, mit dem 2. Term nur, sofern du vorher wirklich getestet hast, ob auf die Absolutbetrags-Striche verzichtet werden kann. (Dies kann man hier tatsächlich, weil ja [mm] x^2+2x+1 = (x+1)^2[/mm], also als Quadrat einer Zahl [mm]\geqq 0[/mm] ist!
Vielleicht könnte man ihn noch umformen, weil ja [mm]\ln {a^n} = n*\ln{a}[/mm] gilt. Also: [mm]ln(x^2+2x+1) = 2*\ln{|x+1|}[/mm]
Für den 3. Term würde ich allerdings nicht mehr die Hand ins Feuer legen!
Ich denke, es gilt [mm]\int{\bruch{1}{x^2+2x+1} \, dx} = \int{\bruch{1}{(x+1)^2} \, dx} = \bruch{-1}{x+1} + Const[/mm]
Wie gesagt, sollte beim unbestimmten Integral ganz am Schluss der Berechnungen noch eine Integrationskonstante addiert werden.
Viele herzliche Grüsse
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