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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Fr 25.01.2008 | | Autor: | bore |
| Aufgabe | | [mm] \integral (4x^3)/(x^3+2x^2-x-2) [/mm] |
Ich habe diese Aufgabe und muss sie durch Partialbruchzerlegung lösen.
Habe folgende Nullstellen gefunden.
x1=-1
x2=-2
x3=1
A/(x+1)+B/(x+2)+C/(x-1)=A(x+2)(x-1)+B(x+1)(x-1)+C(x+1)(x+2)
Nun wie geht man nun weiter? oder kann man das auch anders lösen?
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Hallo bore!
Bevor Du hier die  Partialbruchzerlegung durchführst, musst Du eine Polynomdivison, um den Zählergrad echt kleiner als den Nennergrad werden zu lassen.
Bringe dann die drei Partialbrüche durch Erweitern auf einen Bruch und fasse im Zähler zusammen.
Anschließend führst Du dann einen Koeffizientenvergleich durch mit dem neuen Zähler.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Fr 25.01.2008 | | Autor: | maddhe |
Dein Ansatz ist schon richtig..
Wenn du die 4 vorher aus dem Integral gezogen hast und den Anfang für die Partialbruchzerlegung gemacht hast, steht da [mm] \bruch{A(x-1)(x+1)+B(x+1)(x+2)+C(x^{2}-1)}{(x+1)(x-1)(x+2)}=\bruch{x^{3}}{(x+1)(x-1)(x+2)} [/mm] und aufgelöst [mm] x^{2}(A+B+C)+x(A+3B)+(2B-2A-C)=x^3
[/mm]
Jetzt kannst du sagen, dass [mm] \vmat{ A+B+C=x \\ A+3B=0 \\ 2B-2A-C=0 } [/mm] (ich glaube, es geht auch anders, aber so funktionierts auf jeden Fall und ist nicht sehr schwer, da wir ja Grad(Nenner)>Grad(Zähler) haben wollen und das mit der Annahme von [mm] A+3B=x^{2} [/mm] oder [mm] 2B-2A-C=x^{3} [/mm] später noch mehr Umformungen verlangt als wir eh noch vor uns haben...)
Mit dem obigen Gleichungssystem bekommst du Werte raus, sodass du in jedem Bruch Grad(Nenner)=Grad(Zähler)=1 hast.. jetzt brauchst du die Brüche nur noch umschreiben und bekommst am Ende das, was auch Derive ausspuckt: [mm] \bruch{-8}{3(x+2)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(x+1)} [/mm] + 1
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