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Partialbruchzerlegung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Mi 28.11.2007
Autor: Aleksa

Aufgabe
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Verwende die Partialbruchzerlegung und Löse
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/ (n(n+1)(n+2)

Ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter, zwar weiss ich was eine Partialbruchzerlegung ist, aber wie ich diese auf diese Aufgabe hier anwenden soll , habe ich keine Ahnung.

Zwar habe ich die Anfagszerlegung :

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/ (n(n+1)(n+2) = A/n +B/ n+1 + C/ n+2

[mm] =\bruch{A(n+1)(n+2) +Bn(n+2) + C(n)n+1}{n(n+1)(n+2)}=1 [/mm]

nach diesem Schritt bekomme ich dann probleme , also die alten Nullstellen sind ja (0, -7/6, -1/6) , und wenn ich dann mit diesen weiter rechnen will, kriege ich dann für
n= 0 : 1 A.2 +B.0 +C.O -> A = 2 raus!  Wie rechne ich denn jetzt B und C raus???

Dankeee



        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Koeffizientenvergleich
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Mi 28.11.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Aleksa!



> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] 1/ (n(n+1)(n+2) = A/n +B/ n+1 + C/n+2 [mm]=\bruch{A(n+1)(n+2) +Bn(n+2) + C(n)n+1}{n(n+1)(n+2)}=1[/mm]

[ok] Multipliziere nun den Zähler aus und führe anschließend einen Koeffizientenvergleich durch:

[mm] $$\red{(...)}*n^2+\blue{(...)}*n+\green{(...)} [/mm] \ = \ 1 \ = \ [mm] \red{0}*n^2+\blue{0}*n+\green{1}$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Mi 28.11.2007
Autor: Aleksa

Hallo Roadrunner,

also jetzt habe ich [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 0,5 [mm] \bruch{1}{n}- \bruch{1}{n+1}+0,5 \bruch{1}{n+2} [/mm] raus, wie forme ich die Summe denn jetzt um, damit diese = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] wird ?

Danke


Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Mi 28.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Aleska,

ich habe jetzt nicht nachgerechnet, ob deine PBZ stimmt, aber das weitere Vorgehen ist so:

Klammere zunächst mal [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] aus


> Hallo Roadrunner,
>  
> also jetzt habe ich [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] 0,5 [mm]\bruch{1}{n}- \bruch{1}{n+1}+0,5 \bruch{1}{n+2}[/mm]

[mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)$ [/mm]

> raus, wie forme ich die Summe denn jetzt um, damit diese =
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] wird ?
>
> Danke
>  

Der Reihenwert ist ja der Grenzwert der Partialsummen, also [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^ka_n}_{=S_k}$ [/mm]

Stelle mal zu deiner Reihe (in der Partialbruchdarstellung) eine solche k-te Partialsumme [mm] $S_k$ [/mm] auf.

Du wirst sehen, das ist eine "hübsche" Teleskopsumme, in der sich fast alle Summanden "rausheben"

Mache dann den Grenzübergang [mm] $k\to\infty$ [/mm] und du erhältst deinen gewünschten Reihenwert.

Achtung: das ausgeklammerte [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] nicht vergessen ;-)


LG

schachuzipus



Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:07 Do 29.11.2007
Autor: Aleksa

Hallo,

dankeee, ich hab jetzt 1/4 raus :-))))

Liebe Grüße

Bezug
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