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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 So 12.11.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | | Man berechne die Partialbruchzerlegung von [mm] P(z)=\bruch{z^5}{(z^2+1)(z-1)^2} [/mm] |
Hallo zusammen.
Ich habe Probleme bei dieser Partialbruchzerlegung, weil ich die ganze Zeit als Ergibnis Null bekomme, und mir das was komisch erscheint. Wär echt super, wenn da mal jemand drübergucken würde.
[mm] P(z)=\bruch{z^5}{(z^2+1)(z-1)^2}
[/mm]
Nennernullstellen
[mm] (z^2+1)*(z-1)^2 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow z^2+1 [/mm] = 0 oder [mm] (z-1)^2 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow z^2 [/mm] = -1 oder [mm] z^2-2z+1 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] z = [mm] \pm [/mm] i oder z = 1
Also drei Nullstellen: [mm] z_1=i, z_2=-i, z_3=1
[/mm]
Partialbruchzerlegung
[mm] \bruch{z^5}{(z^2+1)(z-1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{A}{z-i} [/mm] + [mm] \bruch{B}{z+i} [/mm] + [mm] \bruch{C}{z-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{A(z+i)(z-1)}{(z^2+1)(z-1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{B(z-i)(z-1)}{(z^2+1)(z-1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{C(z-i)(z+i)}{(z^2+1)(z-1)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{A(z²-z+iz-i)}{(z^2+1)(z-1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{B(z²-z-iz+i)}{(z^2+1)(z-1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{C(z²+iz-iz-i²)}{(z^2+1)(z-1)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{Az²-Az+Aiz-Ai}{(z^2+1)(z-1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{Bz²-Bz-Biz+Bi}{(z^2+1)(z-1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{Cz²+C}{(z^2+1)(z-1)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{Az²+Bz²+Cz²-Az+Aiz-Bz-Biz-Ai+Bi+C}{(z^2+1)(z-1)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{z²(A+B+C)+z(-A-Ai-B-Bi)+(-Ai+Bi+C)}{(z^2+1)(z-1)^2}
[/mm]
Koeffizientenvergleich
1. Quadratische Terme [mm] \Rightarrow [/mm] A + B + C = 0
2. Lineare Terme [mm] \Rightarrow [/mm] -A - Ai - B - Bi = 0 Addiere 1. zu 2.
3. Konstante Terme [mm] \Rightarrow [/mm] -Ai + Bi + C = 0
1. A + B + C = 0
2. -Ai - Bi + C = 0
3. -Ai + Bi + C = 0 Subtrahiere 2. von 3.
1. A + B + C = 0
2. -Ai - Bi + C = 0
3. -2Bi = 0 Dividiere durch (-2i)
1. A + B + C = 0
2. -Ai - Bi + C = 0
3. B = 0
1. A + 0 + C = 0
2. -Ai - 0i + C = 0
3. B = 0
1. A + C = 0
2. -Ai + C = 0 Subtrahiere 1. von 2.
3. B = 0
1. A + C = 0
2. -Ai - A = 0
3. B = 0
1. A + C = 0
2. (-1-i)A = 0 Dividiere durch (-1-i)
3. B = 0
1. A + C = 0
2. A = 0
3. B = 0
1. 0 + C = 0
2. A = 0
3. B = 0
1. C = 0
2. A = 0
3. B = 0
[U]Partialbruchzerlegung[/U]
[mm] \bruch{z^5}{(z^2+1)(z-1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{0}{z-i} [/mm] + [mm] \bruch{0}{z+i} [/mm] + [mm] \bruch{0}{z-1} [/mm] = 0 + 0 + 0 = 0
Das ist doch irgendwie komisch, oder?
Hab ich irgendwo was falsch gemacht?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 12.11.2006 | | Autor: | Pacapear |
Ich habe gerade festgestellt, dass ich bei der Partialbruchzerlegung die doppelte Nullstelle einfach vergessen hab 
Allerdings komm ich jetzt zu gar keiner Lösung mehr, weil das GS absolut unlösbar geworden ist...
Hat jemand vielleicht eine Idee, wie man solch komplexe Systeme angehen kann?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
LG, Nadine
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Hi, pacapear,
Du hast was GAAAAANZ, ganz Wichtiges vergessen:
Partialbruchzerlegung macht nur Sinn, wenn der Zählergrad KLEINER ist als der Nennergrad, d.h. Du musst erst mal eine Polynomdivision machen!
mfG!
Zwerglein
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