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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Do 08.12.2005 | | Autor: | Molch |
Hallo miteinander!
Ich stehe vor folgendem Problem und hoffe das der ein oder andere ein wenig Licht ins Dunkel bringen kann.
Die Nullstellen des Nenners des Integranden
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{3x^{2}+1}{(x^{2}-1)^{3}}}
[/mm]
sind [mm] x_{0}=1 [/mm] und [mm] x_{1}=-1, [/mm] jeweils dreifach.
Also habe ich das Integral wie folgt zerlegt:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{3x^{2}+1}{(x^{2}-1)^{3}}} [/mm] = [mm] \bruch{a}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{b}{(x+1)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{c}{(x+1)^{3}} [/mm] + [mm] \bruch{d}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{e}{(x-1)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{f}{(x-1)^{3}}
[/mm]
Nun habe ich mit dem Hauptnenner [mm] (x+1)^{3}*(x-1)^{3} [/mm] multipliziert und in diesen Therm nacheinander für x zuerst die Nullstellen [mm] x_{0}=1 [/mm] und [mm] x_{1}=-1 [/mm] , und danach vier weitere Werte eingesetzt um die restlichen Variablen zu erhalten (x=0, x=2, x=-2, x=3). Das liefert mir nun wiederrum ein lineares Gleichungssystem mit 4 Variablen, nach dessen Auflösung und Integration ich jedoch leider nicht auf das gewünschte Ergebnis von
[mm] -\bruch{x}{(x^{2}-1)^{2}}+C
[/mm]
gelange. Um Flüchtigkeitsfehler auszuschließen, habe ich es noch einmal komplett durchgerechnet, doch die Werte bleiben.
Ich vermute deshalb, dass mein Ansatz nicht korrekt ist (oder ich den selben Fehler doch zweimal begangen habe?).
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir sagen könntet, ob mein Ansatz korrekt ist, sodass ich ab dem Ansatz weiterrechnen kann.
Gruß, Molch
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Hallo,
also deine Vorgehensweise ist erst mal richtig und die Lösung, die du rausbekommen sollst, spuckt Mathematica bei mir auch aus. Wäre noch die Frage, was du falsch machst. Dein Hauptnenner stimmt auch. Also rechnen wir mal ein bisschen:
[mm] 3x^{2}+1=a((x+1)^{2}*(x-1)^{3})+b((x+1)*(x-1)^{3})+c((x-1)^{3})+d((x+1)^{3}*(x-1)^{2})+e((x+1)^{3}*(x-1))+f((x+1)^{3})
[/mm]
Stimmt das soweit bei dir?
Jetzt musst du passend Zahlen für x einsetzen, um die einzelnen Koeffizienten zu berechnen!
Für x=1: 4=8f, also f=0,5
Für x=-1: 4=-8c, also c=-0,5
Deinen nächsten Schritt verstehe ich nicht. Wenn du z.B. null einsetzt, dann fällt kein weiterer Term raus:
, das geht also nicht. Mehr als c und f kannst du so nicht berechnen. Jetzt musst du ein LGS aufstellen und dieses nach Gauß lösen. Dann bekommst du die restlichen Koeffizienten. Einfach LGS aufstellen für verschiedene x-Wert. Dann brauchst du natürlich soviele Gleichungen wie du Unbekannte hast.
Alles klar?
Versuch' das doch mal und schau, was rauskommt.
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Molch |
Hallo und danke für deine schnelle Antwort!
Genauso bin ich vorgegangen, ich habe c und f mit Hilfe der Nullstellen berechnet und dann 4 willkürliche Werte eingesetzt die mir 4 Gleichungen mit 4 Variablen liefern. Anscheinend habe ich dann doch bei der Auflösung des LGS einen Fehler begangen, ich werde es noch einmal durchrechnen!
Vielen Dank!
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