Partialbruch integrieren < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 23.03.2008 | | Autor: | PingPong |
Hallo
habe gerade folgende Probleme mit 2 Partiabruchzerlegungen...
a) [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} \bruch{7x-15}{x³-2x²+5x}
[/mm]
da ich eine nst 0 habe und die anderen komplex sind weiß ich den ansatz nicht, mache ich dann nur
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} \bruch{7x-15}{x³-2x²+5x}=bruch{Ax+B}{x³-2x²+5x}
[/mm]
und ermittel dann a und b oder muss ich die Nst 0 auch berücksichten, weil das ja eine reele nst ist.
b) [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} \bruch{3x²+2x+1}{(x+1)²(x²+1)}
[/mm]
soll ich denn Nenner erst ausmultiplizieren ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 So 23.03.2008 | | Autor: | PingPong |
DAS SOLLTE HEISSEN
[mm] \bruch{Ax+B}{x²-2x+5}
[/mm]
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Hallo Danny,
> Hallo
>
> habe gerade folgende Probleme mit 2
> Partiabruchzerlegungen...
>
> a) [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx} \bruch{7x-15}{x³-2x²+5x}[/mm]
>
> da ich eine nst 0 habe und die anderen komplex sind weiß
> ich den ansatz nicht, mache ich dann nur
Der Ansatz bei ner komplexen NST ist folgender:
[mm] $\frac{7x-15}{x^3-2x^2+5x}=\frac{7x-15}{\blue{x}\cdot{}\red{(x^2-2x+5)}}=\blue{\frac{A}{x}}+\red{\frac{B\cdot{}x+C}{x^2-2x+5}}$
[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx} \bruch{7x-15}{x³-2x²+5x}=bruch{Ax+B}{x³-2x²+5x}[/mm]
>
> und ermittel dann a und b oder muss ich die Nst 0 auch
> berücksichten, weil das ja eine reele nst ist.
>
> b) [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx} \bruch{3x²+2x+1}{(x+1)²(x²+1)}[/mm]
>
> soll ich denn Nenner erst ausmultiplizieren ??
Nein, bloß nicht 
Hier hast du den Fall: komplexe NST und 2fache reelle NST, also wähle den Ansatz:
[mm] $\frac{3x^2+2x+1}{(x+1)^2(x^2+1)}=\blue{\frac{A}{x+1}}+\green{\frac{B}{(x+1)^2}}+\red{\frac{Cx+D}{x^2+1}}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 So 23.03.2008 | | Autor: | PingPong |
danke hoffe das birngt mich weiter.. okay.. das A/x ist das nur weil die eine nst 0 ist... ??
was wäre wenn ich nur komplexe NST habeß
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Hi,
> danke hoffe das birngt mich weiter.. okay.. das A/x ist das
> nur weil die eine nst 0 ist... ?? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> was wäre wenn ich nur komplexe NST habeß
s. ganz unten
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 So 23.03.2008 | | Autor: | PingPong |
mhh also abe folgendes .. aber das kann schon irgendwie nicht sein.. weil das mit der lösung nicht passt .. habe bei a)
für A habe ich 3 raus für B -3 und für C 13.
Dann habe ich folgendes:
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}\bruch{3}{x}+\integral_{}^{}{f(x) dx}\bruch{-3x+13}{x²-2x+5}
[/mm]
so das habe ich dann so auseinandergezogen
[mm] 3*\integral_{}^{}{f(x) dx}\bruch{1}{x}
[/mm]
+ [mm] (-3)*\integral_{}^{}{f(x) dx}\bruch{x}{x²-2x+5}
[/mm]
+ [mm] 13*\integral_{}^{}{f(x) dx}\bruch{13}{x²-2x+5}
[/mm]
stimmt das so? wenn ja, bekomme ich bei den letzten bieden arge probleme ...
mhh ich denke da ist ein fehler den ich andauernd mache, weil keine aufgabe aufgeht..
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Hallo nochmal,
> mhh also abe folgendes .. aber das kann schon irgendwie
> nicht sein.. weil das mit der lösung nicht passt .. habe
> bei a)
>
> für A habe ich 3 raus für B -3 und für C 13. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Bei obigem Ansatz [mm] $\frac{\blue{7x-15}}{\red{x(x^2-2x+5)}}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+5}$ [/mm] multipliziere mit dem Hauptnenner durch:
[mm] $=\frac{A(x^2-2x+5)+(Bx+C)x)}{x(x^2-2x+5)}=\frac{\blue{(A+B)x^2+(C-2A)x+5A}}{\red{x(x^2-2x+5)}}$
[/mm]
Nun mache einen Koeffizientenvergleich im (blauen) Zähler
Es muss gelten:
$(1) \ A+B=0 \ $ weil ja [mm] $x^2$ [/mm] im Ursprungsbruch nicht auftaucht
$(2) \ C-2A=7 \ $
$(3) \ 5A=-15 \ $
Damit kannst du deine $A, B, C$ berechnen und dann über die Summe integrieren
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 23.03.2008 | | Autor: | PingPong |
HI nochmal 
kommen genau meine Zahlen raus.. schau dir mal bitte meine integrale an.. stimmen die dann so oder kann man die so nicht integrieren=
danke im vorraus
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Hi,
wenn ich das richtig sehe mit meinen Adleraugen, hast du nen VZF und damit ein falsches C
Ich komme auf A=-3, B=3 und C=1
Damit [mm] $\int{\frac{-3}{x} \dx}+\int{\frac{3x+1}{x^2-2x+5} \ dx}$
[/mm]
Das letzte Integral ist in der Tat etwas unangenehmer als das erste
Aber mit ein paar Umformungen lässt es sich in der Griff bekommen:
[mm] $=-3\int{\frac{1}{x} \ dx}+\frac{3}{2}\int{\frac{2x+\frac{2}{3}}{x^2-2x+5} \ dx}=-3\ln(x)+\frac{3}{2}\int{\frac{2x\red{-2+2}+\frac{2}{3}}{x^2-2x+5} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=-3\ln(x)+\frac{3}{2}\int{\frac{2x-2}{x^2-2x+5} \ dx}+\frac{3}{2}\int{\frac{\frac{8}{3}}{x^2-2x+5} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=-3\ln(x)+\frac{3}{2}\int{\frac{2x-2}{x^2-2x+5} \ dx}+4\int{\frac{1}{(x-1)^2+2^2} \ dx}$
[/mm]
Das erste der verbleibenden Integrale ist ein logarithmisches, also eines der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$ [/mm] Das hat die Stammfunktion [mm] $\ln|f(x)| [/mm] \ + \ C$
Für das andere denke mal an den [mm] $\arctan$ [/mm] und dessen Ableitung....
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 23.03.2008 | | Autor: | PingPong |
<JO
ICH HABS JETZT
danke !
noch eine FRage wie ist der Ansatz.. wenn ich nur komplexe NST habe ?
Einfach Ax+B durch die jeweilige Fkt
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