Parametrisierung aus Kurve < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 So 23.02.2014 | | Autor: | Hikku |
| Aufgabe | Sei c: [-1, 1] -> [mm] R^2 [/mm] eine ebene Kurve mit c(t) := ( -1 - [mm] 3t^2 [/mm] , 3t - [mm] t^3)^T
[/mm]
Konstruieren Sie eine Rotationsfläche M, indem Sie die Kurve c um die y-Achse rotieren. Geben Sie eine entsprechende Parametrisierung f(u,v) , [mm] u\in [/mm] [-1,1], [mm] v\in[0,2\pi]. [/mm] |
Grüße euch,
mir macht die Aufgabe zu schaffen:
Ich kann leider meine Aufgaben nicht weitermachen, da diese Abhängig von der zu erstellenden Funktion M(u,v) sind.
Meiner Meinung nach wird hier nicht der Flächeninhalt oder Volumen gesucht, sondern eine Funktion welche die Kurve im [mm] R^3 [/mm] beschreibt. Kann mir jemand evtl auf die Sprünge helfen?
danke im voraus!
lg Sarah
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Hallo Hikku,
> Sei c: [-1, 1] -> [mm]R^2[/mm] eine ebene Kurve mit c(t) := ( -1 -
> [mm]3t^2[/mm] , 3t - [mm]t^3)^T[/mm]
>
> Konstruieren Sie eine Rotationsfläche M, indem Sie die
> Kurve c um die y-Achse rotieren. Geben Sie eine
> entsprechende Parametrisierung f(u,v) , [mm]u\in[/mm] [-1,1],
> [mm]v\in[0,2\pi].[/mm]
> Grüße euch,
>
> mir macht die Aufgabe zu schaffen:
>
> Ich kann leider meine Aufgaben nicht weitermachen, da diese
> Abhängig von der zu erstellenden Funktion M(u,v) sind.
>
> Meiner Meinung nach wird hier nicht der Flächeninhalt oder
> Volumen gesucht, sondern eine Funktion welche die Kurve im
> [mm]R^3[/mm] beschreibt. Kann mir jemand evtl auf die Sprünge
> helfen?
>
Ja, das ist richtig, daß eine Funktion gesucht ist,
welche die Kurve im [mm]\IR^{3}[/mm] beschreibt.
Mache Dir zuallererst eine Skizze.
> danke im voraus!
>
> lg Sarah
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 So 23.02.2014 | | Autor: | Hikku |
ok das habe ich bereits vorher getan.
Dadurch dass die Kurve nun um Y rotiert kann ich 3 weitere punkte bestimmen. Und zwar lässt sich sagen, dass bei einer Drehung von [mm] \pi [/mm] alle Punkte an der Y-achse gespiegelt sind. Aber mir fehlt trotzdem der Ansatz um eine Funktion nun zu erstellen
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Hallo Hikku,
> ok das habe ich bereits vorher getan.
> Dadurch dass die Kurve nun um Y rotiert kann ich 3 weitere
> punkte bestimmen. Und zwar lässt sich sagen, dass bei
> einer Drehung von [mm]\pi[/mm] alle Punkte an der Y-achse gespiegelt
> sind. Aber mir fehlt trotzdem der Ansatz um eine Funktion
> nun zu erstellen
Da die Kurve um die Y-Achse rotiert,
ist der Radius r durch den X-Wert gegeben.
Damit hast Du 2 Komponenten des Rotationskörpers:
[mm]\pmat{r\left(u\right)*\cos\left(v\right) \\ r\left(u\right)*\sin\left(v\right) \\ z\left(u\right)}[/mm]
z(u) ist noch zu bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 23.02.2014 | | Autor: | Hikku |
Wenn mich nicht alles täuscht, muss ich eine Funktion für z(u,v) suchen, welche mir bei [mm] z(0,\pi/2) [/mm] = 1 und [mm] z(0,3*\pi/2) [/mm] = -1 ausgibt. Liege ich da richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 So 23.02.2014 | | Autor: | Hikku |
ok also ich denke die Lösung wär:
M(u,v) = [mm] \vektor{u * cos(v) \\ u * sin(v) \\ cos(v)}
[/mm]
kannst du das bestätigen?
Eine Zusätzliche Frage zu dem Ganzen: Wenn ich die Kurve laut Aufgabenstellung in der (x,y)-Ebene Zeichne und dann um die y-Achse rotieren lasse, bekomme ich eine Figur die einem Yoyo ähnlich ist.
Durch die Parametrisierung in den [mm] R^3 [/mm] und der Einschränkung von u€[-1, 1] wird aus der Figur doch einfach ein Zylinder der längs der Y-Achse liegt oder?
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Hallo Hikku,
> Wenn mich nicht alles täuscht, muss ich eine Funktion für
> z(u,v) suchen, welche mir bei [mm]z(0,\pi/2)[/mm] = 1 und
> [mm]z(0,3*\pi/2)[/mm] = -1 ausgibt. Liege ich da richtig?
Nein, was im [mm]\IR^{2}[/mm] die y-Achse ist, ist nach Rotation
um dieselbe Achse im [mm]}\IR^{3}[/mm] die z-Achse.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 23.02.2014 | | Autor: | Hikku |
Mist, ich blick das einfach nicht, selbst den Wikipediaeintrag über Rotationsflächen verstehe ich nicht. Ich weiß nicht was ich tun soll. Angenommen ich habe M(u,v) irgendwann fertig? was habe ich davon?
Ich kann ich unter [mm] M(-1,2\PI) [/mm] z.b. verstehen?
ich entschuldige die Begriffsstutzigkeit im voraus!
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Hallo Hikku,
> Mist, ich blick das einfach nicht, selbst den
> Wikipediaeintrag über Rotationsflächen verstehe ich
> nicht. Ich weiß nicht was ich tun soll. Angenommen ich
> habe M(u,v) irgendwann fertig? was habe ich davon?
> Ich kann ich unter [mm]M(-1,2\PI)[/mm] z.b. verstehen?
>
Bei mir steht unter dem Wikipediaeintrag ![[]](/images/popup.gif) Rotationsfläche
schon alles, was man braucht.
> ich entschuldige die Begriffsstutzigkeit im voraus!
Gruss
MathePower
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