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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Mo 14.11.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, man soll für das statistische Modell
[mm] $(\mathcal{M},\mathcal{A},\mathcal{P})=\left(\left\{0,1\right\}^n, \mathfrak{P}\left(\left\{0,1\right\}^n\right), \otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p)\right)$
[/mm]
zwei Parametrisierungen [mm] $\theta_1$ [/mm] (ordnet jedem [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] den Erwartungswert [mm] $E(X_1)$ [/mm] zu) und [mm] $\theta_2$ [/mm] (ordnet jedem [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] die Varianz [mm] $\operatorname{Var}(X_1)$ [/mm] zu) betrachten und sagen, ob die Verteilungen durch sie eindeutig charakterisiert sind.
[Anmerken muss ich noch die Info, daß [mm] $X_i\sim \operatorname{Bin}(1,p)$ [/mm] unabhängige Zufallsvariablen sind.] |
Meine Frage ist, ob ich mit meiner Idee (s.u.) richtig liege.
[mm] $\theta_1$:
[/mm]
Die [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] sind ja von der Form [mm] $\otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p)$, [/mm] wobei [mm] $p\in [/mm] [0,1]$.
Wenn man jetzt jedem solchen [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] den Erwartungswert [mm] $E(X_1)=p$ [/mm] zuordnet, so hat man doch quasi eine bijektive Abbildung (kann man das so sagen?) und die [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] sind eindeutig charakterisiert. Das heißt, p kann wieder aus $[0,1]$ stammen.
[mm] $\theta_2$:
[/mm]
Da [mm] $\operatorname{Var}(X_1)=p(1-p)=[0,0.25]$ [/mm] liegt hier keine injektive Abbildung vor. Das heißt, wo man ehemals zum Beispiel [mm] $P_{0,3}$ [/mm] und [mm] $P_{0,7}$ [/mm] unterscheiden konnte, sind jetzt [mm] $P_{0,3}=P_{0,7}$.
[/mm]
Wer kann mir sagen, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe?
Liebe Grüße und dankesehr!
mikexx
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> Hallo, man soll für das statistische Modell
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> [mm](\mathcal{M},\mathcal{A},\mathcal{P})=\left(\left\{0,1\right\}^n, \mathfrak{P}\left(\left\{0,1\right\}^n\right), \otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p)\right)[/mm]
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> zwei Parametrisierungen [mm]\theta_1[/mm] (ordnet jedem
> [mm]P\in\mathcal{P}[/mm] den Erwartungswert [mm]E(X_1)[/mm] zu) und [mm]\theta_2[/mm]
> (ordnet jedem [mm]P\in\mathcal{P}[/mm] die Varianz
> [mm]\operatorname{Var}(X_1)[/mm] zu) betrachten und sagen, ob die
> Verteilungen durch sie eindeutig charakterisiert sind.
>
> [Anmerken muss ich noch die Info, daß [mm]X_i\sim \operatorname{Bin}(1,p)[/mm]
> unabhängige Zufallsvariablen sind.]
> Meine Frage ist, ob ich mit meiner Idee (s.u.) richtig
> liege.
>
> [mm]\theta_1[/mm]:
>
> Die [mm]P\in\mathcal{P}[/mm] sind ja von der Form
> [mm]\otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p)[/mm], wobei [mm]p\in [0,1][/mm].
>
> Wenn man jetzt jedem solchen [mm]P\in\mathcal{P}[/mm] den
> Erwartungswert [mm]E(X_1)=p[/mm] zuordnet, so hat man doch quasi
> eine bijektive Abbildung (kann man das so sagen?) und die
> [mm]P\in\mathcal{P}[/mm] sind eindeutig charakterisiert. Das heißt,
> p kann wieder aus [mm][0,1][/mm] stammen.
Ja, sehe ich auch so.
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> [mm]\theta_2[/mm]:
>
> Da [mm]\operatorname{Var}(X_1)=p(1-p)=[0,0.25][/mm]
du meinst [mm] $\in...$ [/mm]
> liegt hier keine
> injektive Abbildung vor. Das heißt, wo man ehemals zum
> Beispiel [mm]P_{0,3}[/mm] und [mm]P_{0,7}[/mm] unterscheiden konnte, sind
> jetzt [mm]P_{0,3}=P_{0,7}[/mm].
hast du auch richtig erkannt
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> Wer kann mir sagen, ob ich die Aufgabe richtig verstanden
> habe?
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> Liebe Grüße und dankesehr!
>
> mikexx
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