Parameterquadrupel Inzidenzstr < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Fr 29.11.2013 | | Autor: | lapeiluw |
| Aufgabe | Ist [mm] M [/mm] Menge und [mm] k\in\IN [/mm], so sei [mm] {M \choose k } := \{X \in 2^M | \#X = k \} [/mm] die Menge der [mm] k [/mm]-elementigen Teilmengen von M.
Für [mm] i, j, n \in\IN [/mm] mit [mm] i \le j \le n [/mm] sei [mm] \mathcal{I} (i, j, n) := (P, B, I) [/mm] mit [mm] P = \tbinom{[n]}{i}, B = \tbinom{[n]}{j} [/mm] und [mm] I := \{\(p,b\) \in P \times B | p \subseteq b \} [/mm].
Dann ist [mm] \mathcal{I} [/mm] taktische Konfiguration.
Bestimme für [mm] ( i, j, n ) = ( 2, 3, 4) [/mm] und [mm] ( i, j, n ) = ( 2, 3, 5) [/mm] die zugehörigen Parameterquadrupel. |
Also ich stehe ganz am Anfang überhaupt erst die Aufgabe zu verstehen.
Es gibt mehrere Unklarheiten, die sich mir auftun.
1. P und B (also Punkte und Blöcke der Inzidenzstruktur) sind ja durch den Klammerausdruck definiert, nur frage ich mich, was die k-elementigen Teilmengen da sollen? Wir wissen, dass für das erste Beispiel [mm] P = \{ 1, 2, 3, 4 \} [/mm] und [mm] B = \{ 1, 2, 3, 4 \} [/mm]. Was sagen mir die bspw. 3-elementigen Teilmengen?
2. Für den Parameterquadrupel brauche ich 4 Werte. [mm] \#P = 4 , \#B = 4 , \# \{[/mm]Blöcke pro Punkt[mm] \} [/mm] und [mm] \# \{ [/mm]Punkte pro Block[mm] \} [/mm]
Irgendwie kann ich die "Blöcke pro Punkt" und "Punkte pro Block" noch nicht erkennen. Wir hatten bisher nur ein Beispiel, was enorm anschaulich war mit einem Würfel, seinen Kanten und Ecken. Jedoch ist diese Aufgabe im Vergleich dazu schon sehr abstrakt, obwohl es natürlich schon ganz konkrete Werte sind.
Zeigen die Teilmengen etwa schon diese Zuordnung an? Aber das wäre ja ziemlich sinnfrei???
Für einen hilfreichen Tipp, sowohl zu 1. als auch 2. bin ich sehr dankbar.
Gruß lapeilüw
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Sa 30.11.2013 | | Autor: | lapeiluw |
Hm, ich komme hier leider allein echt nicht weiter. Ich hab auch versucht unser Übungsbeispiel mit dem Würfel auf diese Notation zu übertragen, aber mein Problem sind wieder diese ungeklärten Teilmengen und dass ich gar nicht weiß wieviele Punkte/Blöcke jeweils mit den (Blöcken/Punkten indizieren...
Niemand, der damit etwas anfangen kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Sa 30.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Ist [mm]M[/mm] Menge und [mm]k\in\IN [/mm], so sei [mm]{M \choose k } := \{X \in 2^M | \#X = k \}[/mm]
> die Menge der [mm]k [/mm]-elementigen Teilmengen von M.
> Für [mm]i, j, n \in\IN[/mm] mit [mm]i \le j \le n[/mm] sei [mm]\mathcal{I} (i, j, n) := (P, B, I)[/mm]
> mit [mm]P = \tbinom{[n]}{i}, B = \tbinom{[n]}{j}[/mm] und [mm]I := \{\(p,b\) \in P \times B | p \subseteq b \} [/mm].
> Dann ist [mm]\mathcal{I}[/mm] taktische Konfiguration.
>
> Bestimme für [mm]( i, j, n ) = ( 2, 3, 4) [/mm] und [mm]( i, j, n ) = ( 2, 3, 5)[/mm]
> die zugehörigen Parameterquadrupel.
>
> Also ich stehe ganz am Anfang überhaupt erst die Aufgabe
> zu verstehen.
> Es gibt mehrere Unklarheiten, die sich mir auftun.
> 1. P und B (also Punkte und Blöcke der Inzidenzstruktur)
> sind ja durch den Klammerausdruck definiert, nur frage ich
> mich, was die k-elementigen Teilmengen da sollen? Wir
> wissen, dass für das erste Beispiel [mm]P = \{ 1, 2, 3, 4 \} [/mm]
> und [mm]B = \{ 1, 2, 3, 4 \} [/mm]. Was sagen mir die bspw.
> 3-elementigen Teilmengen?
Achtung: Die Punkte sind hier definiert als die $i$-elementige Teilmengen der Menge $[n](= [mm] \{1,\ldots, n\})$; [/mm] analog sind die Bloecke $j$-elementige Teilmengen. Also ist fuer $i=2$, $j=3$ und $n=4$ $P$ die Menge aller $2$-elementigen Teilmengen von [mm] $\{1,2,3,4\}$. [/mm] In diesem Sinne ist [mm] $\{1,3\}$ [/mm] ein Punkt dieser Inzidenzstruktur. Hingegen ist [mm] $\{1,2,4\}$ [/mm] einer ihrer Bloecke.
>
> 2. Für den Parameterquadrupel brauche ich 4 Werte. [mm]\#P = 4 , \#B = 4 , \# \{[/mm]Blöcke
> pro Punkt[mm] \}[/mm] und [mm]\# \{ [/mm]Punkte pro Block[mm] \}[/mm]
> Irgendwie kann ich die "Blöcke pro Punkt" und "Punkte pro
> Block" noch nicht erkennen. Wir hatten bisher nur ein
> Beispiel, was enorm anschaulich war mit einem Würfel,
> seinen Kanten und Ecken. Jedoch ist diese Aufgabe im
> Vergleich dazu schon sehr abstrakt, obwohl es natürlich
> schon ganz konkrete Werte sind.
> Zeigen die Teilmengen etwa schon diese Zuordnung an? Aber
> das wäre ja ziemlich sinnfrei???
Mit obiger Erlaeuterung faellt Dir die Bearbeitung des 2. Teils sicher leichter. Etwa ist [mm] $|\binom{[4]}{2}|= \binom{4}{2}= [/mm] 6$.
>
> Für einen hilfreichen Tipp, sowohl zu 1. als auch 2. bin
> ich sehr dankbar.
>
> Gruß lapeilüw
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Sa 30.11.2013 | | Autor: | lapeiluw |
Hallo hippias,
danke für diesen Hinweis, das hab ich tatsächlich komplett falsch verstanden.
Ich werde mich jetzt mit diesem Hinweis nochmal ransetzen.
|
|
|
| |
|
> Ist [mm]M[/mm] Menge und [mm]k\in\IN [/mm], so sei [mm]{M \choose k } := \{X \in 2^M | \#X = k \}[/mm]
> die Menge der [mm]k [/mm]-elementigen Teilmengen von M.
> Für [mm]i, j, n \in\IN[/mm] mit [mm]i \le j \le n[/mm] sei [mm]\mathcal{I} (i, j, n) := (P, B, I)[/mm]
> mit [mm]P = \tbinom{[n]}{i}, B = \tbinom{[n]}{j}[/mm] und [mm]I := \{\(p,b\) \in P \times B | p \subseteq b \} [/mm].
> Dann ist [mm]\mathcal{I}[/mm] taktische Konfiguration.
>
> Bestimme für [mm]( i, j, n ) = ( 2, 3, 4) [/mm] und [mm]( i, j, n ) = ( 2, 3, 5)[/mm]
> die zugehörigen Parameterquadrupel.
>
> Also ich stehe ganz am Anfang überhaupt erst die Aufgabe
> zu verstehen.
> Es gibt mehrere Unklarheiten, die sich mir auftun.
> 1. P und B (also Punkte und Blöcke der Inzidenzstruktur)
> sind ja durch den Klammerausdruck definiert, nur frage ich
> mich, was die k-elementigen Teilmengen da sollen? Wir
> wissen, dass für das erste Beispiel [mm]P = \{ 1, 2, 3, 4 \} [/mm]
> und [mm]B = \{ 1, 2, 3, 4 \} [/mm]. Was sagen mir die bspw.
> 3-elementigen Teilmengen?
>
> 2. Für den Parameterquadrupel brauche ich 4 Werte. [mm]\#P = 4 , \#B = 4 , \# \{[/mm]Blöcke
> pro Punkt[mm] \}[/mm] und [mm]\# \{ [/mm]Punkte pro Block[mm] \}[/mm]
> Irgendwie kann ich die "Blöcke pro Punkt" und "Punkte pro
> Block" noch nicht erkennen. Wir hatten bisher nur ein
> Beispiel, was enorm anschaulich war mit einem Würfel,
> seinen Kanten und Ecken. Jedoch ist diese Aufgabe im
> Vergleich dazu schon sehr abstrakt, obwohl es natürlich
> schon ganz konkrete Werte sind.
> Zeigen die Teilmengen etwa schon diese Zuordnung an? Aber
> das wäre ja ziemlich sinnfrei???
>
> Für einen hilfreichen Tipp, sowohl zu 1. als auch 2. bin
> ich sehr dankbar.
Hallo lapeilüw
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
gerade ist mir hippias mit seiner Antwort zuvorgekommen.
Mein Tipp wäre:
Man kann sich diese Aufgabe ebenfalls sehr gut anschaulich
machen. Im ersten Beispiel hast du wegen n=4 die Grund-
menge $\ M\ =\ [mm] \{1,2,3,4\}$ [/mm] . Stelle dir diese 4 Elemente
als 4 Punkte (in der Ebene oder im Raum) vor. Es steht dir
frei, sie wirklich mit 1,2,3,4 zu bezeichnen oder allenfalls
mit A,B,C,D (wie man etwa die Ecken eines Vierecks oder
Tetraeders bezeichnet).
Die Menge P enthält (wegen i=2) alle 2-elementigen
Teilmengen von M. Weil die Elemente von P in der Aufgabe
als "Punkte" bezeichnet werden sollen, ist es nun gut,
wenn wir die anfänglichen Elemente der Grundmenge M
nicht mehr als Punkte, sondern z.B. als Ecken oder Knoten
(eines Graphen) bezeichnen.
Die "Punkte" in P entsprechen nun im grafischen Bild
genau den Seiten und Diagonalen im ebenen Viereck
bzw. den Kanten des Tetraeders im Raum.
Die Menge B enthält (wegen j=3) alle 3-elementigen
Teilmengen von M.
Die "Blöcke" in B entsprechen den (durch Seiten und/oder
Diagonalen gebildeten) Dreiecken im ebenen Viereck
bzw. den Seitendreiecken des Tetraeders im Raum.
An diesem anschaulichen Modell kann man nun leicht
die Fragen beantworten:
Wieviele "Punkte" (also Kanten) gibt es ?
Wieviele "Blöcke" (also Dreiecke) gibt es ?
Wieviele "Blöcke" inzidieren mit jedem einzelnen "Punkt" ?
Wieviele "Punkte" inzidieren mit jedem einzelnen "Block" ?
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Sa 30.11.2013 | | Autor: | lapeiluw |
Hallo,
also vielen Dank für eure Hinweise, besonders Al-Chwarizmi dein Tipp hat mir sehr geholfen. Ich habe mir das ganze einmal aufgezeichnet und bin zu folgenden Ergebnissen gekommen:
a) für $ ( i, j, n ) = ( 2, 3, 4) $ hab ich ja dementsprechend $ P = [mm] \tbinom{[n]}{i} [/mm] $ also $ [mm] |\binom{[4]}{2}|= \binom{4}{2}= [/mm] 6 $ und für $ B = [mm] \tbinom{[n]}{j} [/mm] $ also $ [mm] |\binom{[4]}{3}|= \binom{4}{3}= [/mm] 4 $
Die Anzahl der Blöcke, die mit je einem Punkt indizieren, hab ich nach der Zeichnung ausgezählt und komme auf 2 und für die Punkte je Block auf 3.
Das heißt für das Parameterquadrupel, welches wie folgt definiert ist:
[mm] (v_I, r_I; b_I, k_I) [/mm] mit [mm] v_I := \#P, b_I := \#B, r_I := \#(pI), k_I := \# (Ib) [/mm] ist das Ergebnis [mm] (6,2;4,3) [/mm]
für $ ( i, j, n ) = ( 2, 3, 5) $ dementsprechend [mm] (10,3;10,3) [/mm]
Das ist alles so ok? Und laut Aufgabe, da dort nicht steht, WIE man das Parameterquadrupel bestimmen soll, also ob rechnerisch oder mithilfe einer Zeichnung, wäre das vollständig???
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> also vielen Dank für eure Hinweise, besonders Al-Chwarizmi
> dein Tipp hat mir sehr geholfen. Ich habe mir das ganze
> einmal aufgezeichnet und bin zu folgenden Ergebnissen
> gekommen:
> a) für [mm]( i, j, n ) = ( 2, 3, 4)[/mm] hab ich ja
> dementsprechend [mm]P = \tbinom{[n]}{i}[/mm] also [mm]|\binom{[4]}{2}|= \binom{4}{2}= 6[/mm]
> und für [mm]B = \tbinom{[n]}{j}[/mm] also [mm]|\binom{[4]}{3}|= \binom{4}{3}= 4[/mm]
> Die Anzahl der Blöcke, die mit je einem Punkt indizieren,
das sollte heißen "inzidieren" , denn "indizieren"
bedeutet etwas anderes (z.B. "mit einem Index versehen")
> hab ich nach der Zeichnung ausgezählt und komme auf 2 und
> für die Punkte je Block auf 3.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") alles korrekt !
> Das heißt für das Parameterquadrupel, welches wie folgt
> definiert ist:
> [mm](v_I, r_I; b_I, k_I)[/mm] mit [mm]v_I := \#P, b_I := \#B, r_I := \#(pI), k_I := \# (Ib)[/mm]
> ist das Ergebnis [mm](6,2;4,3)[/mm]
>
> für [mm]( i, j, n ) = ( 2, 3, 5)[/mm] dementsprechend [mm](10,3;10,3)[/mm]
ebenfalls ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das ist alles so ok? Und laut Aufgabe, da dort nicht steht,
> WIE man das Parameterquadrupel bestimmen soll, also ob
> rechnerisch oder mithilfe einer Zeichnung, wäre das
> vollständig???
Naja, ich denke, dass du schon nicht bloß die zahlen-
mäßigen Ergebnisse angeben solltest, sondern auch
eine Begründung. Das geometrische Modell würde ich
vielleicht als Argumentationshilfe benützen, die Berech-
nung der Zahlenwerte dann aber vielleicht doch noch
kombinatorisch (mittels Binomialkoeffizienten etc.)
begründen.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 01.12.2013 | | Autor: | lunatic. |
Hallo,
ich habe dieselbe Aufgabe und noch eine Frage dazu. Wieso kommt für (i,j,n) = (2,3,5)
nicht (10, 2, 10 ,3) raus?
ich dachte man muss immer nur die Anzahl der kombinierten Blöcke mit Punkten nehmen und bei einer 2 elementigen Menge wäre das ja 2, oder?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich habe dieselbe Aufgabe und noch eine Frage dazu. Wieso
> kommt für (i,j,n) = (2,3,5)
>
> nicht (10, 2, 10 ,3) raus?
>
> ich dachte man muss immer nur die Anzahl der kombinierten
> Blöcke mit Punkten nehmen und bei einer 2 elementigen
> Menge wäre das ja 2, oder?
>
> Liebe Grüße
Hallo lunatic.
auch Dir:
Die Grundmenge M hat n=5 Elemente. "Punkte" sind die
zweielementigen und "Blöcke" die dreielementigen
Teilmengen von M. Davon gibt es je 10, weil
[mm] $\pmat{5\\2}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{5\\3}\ [/mm] =\ 10$
Jeder "Block" hat 3 "Punkte". Beispiel:
Block {1,2,3} hat die "Punkte" {1,2},{1,3},{2,3}
Ferner gehört jeder "Punkt" zu 3 Blöcken. Beispiel:
"Punkt" {1,2} gehört zu {1,2,3},{1,2,4} und {1,2,5}
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 So 01.12.2013 | | Autor: | lunatic. |
Vielen lieben Dank,
jetzt habe ich erst den Hintergrund von inzidieren verstanden.
Einen schönen ersten Advent noch.
Liebe Grüße Lunatic.
|
|
|
|
