Parametergleichung Hyperbel < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 11.11.2010 | | Autor: | Klerk91 |
hey,
ich wollte fragen, ob jemand mir eine Herleitung zeigen kann, oder zumindest einen Ansatz zeigen kann, wie man herleiten kann, dass die Parametergleichung für die Hyperbel:
x(t)= a cosh(t)
y(t)= b sinh(t)
also beweisen ist nicht das problem, das geht ja durch einsetzen es geht vielmehr um eine herleitung!
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> hey,
> ich wollte fragen, ob jemand mir eine Herleitung zeigen
> kann, oder zumindest einen Ansatz zeigen kann, wie man
> herleiten kann, dass die Parametergleichung für die
> Hyperbel:
> x(t)= a cosh(t)
> y(t)= b sinh(t)
>
> also beweisen ist nicht das problem, das geht ja durch
> einsetzen es geht vielmehr um eine herleitung!
Hallo klerk,
auf welche Weise kennst du denn den Begriff "Hyperbel" ?
Wie wurde diese Kurvenart überhaupt definiert ?
Erst wenn man dies weiß, kann man vernünftig antworten !
Die Hyperbel soll ja offenbar auch schon auf ganz spezielle
Weise im Koordinatensystem platziert sein.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 11.11.2010 | | Autor: | Klerk91 |
falls du das meinst:
Definition Hyperbel über Spurgleichung:
x²/a²-y²/b²=1
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Nun ja, wenn man mal Verschiebungen und Drehungen außer Acht läßt, kommt man doch wieder zum Einsetzen, um das zu verifizieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Do 11.11.2010 | | Autor: | Peter_Pein |
So, um Schluss zu machen:
Ich habe mit Mathematica eine einfache Hyperbel konstruiert, in der [mm]y(t)=t^{5}[/mm] ist.
| 1: | Assuming[a!=0!=b,
| | 2: | Reduce[(x/a)^2-(y/b)^2==1/.y->t^5,{x,y}]//Simplify
| | 3: | ] |
[mm]i \sqrt{-a^2 \left(b^2+t^{10}\right)}+b x==0\|x==\frac{i \sqrt{-a^2 \left(b^2+t^{10}\right)}}{b}[/mm]
FullSimplify[{-((I Sqrt[-a^2 b^2-a^2 t^10])/b),t^5}/.a|b->1//ComplexExpand,t\[Element]Reals]
[mm]\left\{\sqrt{1+t^{10}},t^5\right\}[/mm]
Da ich das Getue um Urheberrechte im Falle von selbst erstellten Dateien für kontraproduktiv halte (tagelang keine Freigabe), ![[]](/images/popup.gif) hier ein Link auf eine PDF-Kopie (Haltbarkeitsdatum: mindestens 11.12.2010).
P.S.: jetzt stimmt der Link; da hatte mir copy/paste einen Streich gespielt :(
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Das kann man so nicht herleiten, weil - um es einfach zu machen - zum Bleistift auch die Gleichungen [mm]x(t)=a*cosh(t)+c_{x}, y(t)=b*sinh(t)+c_{y}[/mm] eine Hyperbel parametrisieren (irgendwo muss der Name Sinus/Cosinus Hyperbolicus ja herkommen).
P.S.: Au weia! Zwei Fehler in so einer kurzen Mitteilung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Kaffee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Do 11.11.2010 | | Autor: | Klerk91 |
naja, aber irgendwo muss das doch herkommen oder nicht?
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Hallo Klerk91,
es gilt der Zusammenhang [mm]\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1[/mm]
Das kannst du schnell nachrechnen mithilfe der Definitionen von [mm]\sinh[/mm], [mm]\cosh[/mm] über die Exponentialfunktion.
Ausgehend von der Hyperbelgleichung [mm]\left(\frac{x}{a}\right)^2-\left(\frac{y}{b}\right)^2=1[/mm] setze [mm]\frac{x}{a}:=\cosh(t), \frac{y}{b}:=\sinh(t)[/mm]
Dann steht da [mm]\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1[/mm], was wegen des oben angemerkten Zusammenhangs gilt.
Mit der obigen Festlegung ist aber durch einfache Umstellung [mm]x=x(t)=a\cdot{}\cosh(t)[/mm] und [mm]y=y(t)=b\cdot{}\sinh(t)[/mm] die gewünschte Parametrisierung
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 11.11.2010 | | Autor: | Klerk91 |
jop, ich weiß, aber ich habe mich ja genau für den umgekehrten weg interessiert, kann man aufgrund der parametergleichung sinh und cosh definieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
"Herleiten" ist in diesem Zusammenhang ein schwieriges Unternehmen. denn natürlich gibt es für die Hyperbel, wie für alle Kurven beliebig viele Parameterdarstellungen.
a) man kennt die cosh(x) und sinh(x) gut, z. Bsp durch ihre Dgl f''(x)=f(x) und die anfangswerte f(0)=1, f'(0)=0 und umgekehrt.
dann hat man eben auch [mm] cosh^2-sinh^2=1
[/mm]
und wenn man die "Spurdarstellung kennt, sieht man, dass sie durch diese fkt erfüllt ist.
Wenn man Physiker ist und die Minkowski Metrik der speziellen Rel. Th. kennt dann ist die Darstellung die in der Bogenlänge dieser metrik
Aber vielleicht sagst du erst mal, wie du x=cos(t) y=sin(t) für den einheitskreis "herleiten" würdest?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Do 11.11.2010 | | Autor: | Klerk91 |
ok, ich habe keine idee, aber du sprichst von beliebig verschiedenen parametrisierungen, gibt es denn jetzt, ohne irgendwelche konstanten da ranzurechnen, noch andere möglichkeiten der parametrisierung mit komplett anderen funktionen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Do 11.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Klerk!
Ja, siehe hier.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Do 11.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich glaube, dass dein Plan (so wie ich ihn verstehe) nicht aufgehen kann, denn es gibt ja nicht die Parametrisierung einer Kurve.
x(t) = [mm] a*t^2 [/mm] und y(t) = [mm] b*\wurzel{t^4-1}
[/mm]
erfüllt doch ebenfalls die Gleichung [mm] (\bruch{x}{a})^2 [/mm] - [mm] (\bruch{y}{b})^2 [/mm] = 1
und liefert damit die Hyperbel (zumindest einen Teil von ihr).
Gruß Sax.
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