Parameterform in Koordin.f. < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Duffel |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(3/-2/4), B(-1/1/-1) und C(2/5/4), sowie die Ursprungsgerade mit g: [mm] \vec{x} [/mm] = t [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
Zeigen Sie, dass A, B und C Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks sind, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E durch die Punkte A, B, C in Parameter- und Kooerdinatenform (mögliche Lösung: 7x + y -5z = -1) |
So,
[mm] \Delta [/mm] ABC [mm] \Rightarrow \vmat{ \overrightarrow{AB} } [/mm] = [mm] \vmat{ \overrightarrow{BC} } [/mm] = [mm] \vmat{ \overrightarrow{AC} } \approx [/mm] 7,07; q.e.d.
Parameterform (Dreipunktform) E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ -3 \\ -2 \\ 4 } [/mm] + r [mm] \pmat{ -4 \\ 3 \\ -5 } [/mm] + s [mm] \pmat{ 3 \\ 4 \\ 5 }
[/mm]
[mm] \to [/mm] Koordinatenform:
1: x = 3 - 4r + 3s
2: y = -2 + 3r + 4s
3: z = 4 -5r +5s
Nun hab ich hin und hergerechnet, bis ich zu r und s aufgelöst hab und eingesetzt. Find ich mühselig. Hab auch ein Ergebnis rausbekommen, welches allerdings ziemlich lang ist und ich keine Lust hab immer das dann zu überprüfen.
Nun hab ich mir das Vektorprodukt angelernt. Man kann also mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor bilden.
Der doch da wäre: [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \pmat{ 35 \\ -5 \\ -25 }
[/mm]
Mit [mm] \vec{n} \Rightarrow [/mm] E: 35x - 5y - 25z = d
mit d = [mm] \pmat{ 35 \\ -5 \\ -25 } [/mm] * [mm] [i]\pmat{ 3 \\ -2 \\ 4 }[/i] [/mm] = 105 + 10 -100 =15
d errechnet indem ich den Normalenvektor mit dem Stützvektor der Parameterform gebildet habe.
Nun hab ich
E: 35x - 5y - 25z = 15 | /5
E: 7x - y - 5z = 3 [mm] \not= [/mm] Gegebene Lösung: E: 7x + y -5z = -1
Wäre lieb, wenn mir einer den Fehler aufzeigt, ich glaube nicht, die vorgegebene Lösung ist falsch, da es ne Abiaufgabe ist von vor 2 Jahren Zentralabi... :-(
Und liege ich dann richtig, dass ich eigentlich (auch wenns bei dem Beispiel grad nicht geklappt hat) durch das Vektorprodukt aus einer Parameterform einen Normalenvektor bilden kann. Kann ich dann auch einfach den Stützvektor der Parameterform in einer Normalenform benutzen? Kann ich aus dem Normalenvektor die Koordinatenform ablesen, wie ichs gemacht habe und dann d errechnen, in dem ich mit dem Stützvektor der Parameterform multiliziere?
Dann hätte ich nämlich fast alle Umformungen.
Dann wäre es lieb, wenn mir jemand die einfachste Weise zeigt, von Koordinatenform zurück in Normalenform. Und wie komme ich von der Normalenform in die Parameterform am kürzesten?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Kroni |
> Gegeben sind die Punkte A(3/-2/4), B(-1/1/-1) und C(2/5/4),
> sowie die Ursprungsgerade mit g: [mm]\vec{x}[/mm] = t [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass A, B und C Eckpunkte eines gleichseitigen
> Dreiecks sind, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E
> durch die Punkte A, B, C in Parameter- und Kooerdinatenform
> (mögliche Lösung: 7x + y -5z = -1)
> So,
>
> [mm]\Delta[/mm] ABC [mm]\Rightarrow \vmat{ \overrightarrow{AB} }[/mm] =
> [mm]\vmat{ \overrightarrow{BC} }[/mm] = [mm]\vmat{ \overrightarrow{AC} } \approx[/mm]
> 7,07; q.e.d.
>
> Parameterform (Dreipunktform) E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ -3 \\ -2 \\ 4 }[/mm]
> + r [mm]\pmat{ -4 \\ 3 \\ -5 }[/mm] + s [mm]\pmat{ 3 \\ 4 \\ 5 }[/mm]
>
> [mm]\to[/mm] Koordinatenform:
>
> 1: x = 3 - 4r + 3s
> 2: y = -2 + 3r + 4s
> 3: z = 4 -5r +5s
>
> Nun hab ich hin und hergerechnet, bis ich zu r und s
> aufgelöst hab und eingesetzt. Find ich mühselig. Hab auch
> ein Ergebnis rausbekommen, welches allerdings ziemlich lang
> ist und ich keine Lust hab immer das dann zu überprüfen.
Hi,
das kann ich imr denken, dass du darauf keine Lust hast.
>
> Nun hab ich mir das Vektorprodukt angelernt. Man kann also
> mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren einen
> Normalenvektor bilden.
>
> Der doch da wäre: [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\pmat{ 35 \\ \[red ]-5[/red] \\ -25 }[/mm]
HIER hast du deinen Fehler gemacht! Es muss +5 heißen, und nicht -5.
> Mit
> [mm]\vec{n} \Rightarrow[/mm] E: 35x - 5y - 25z = d
> mit d = [mm]\pmat{ 35 \\ -5 \\ -25 }[/mm] * [mm][i]\pmat{ 3 \\ -2 \\ 4 }[/i][/mm] =
> 105 + 10 -100 =15
>
Wenn du hier anstatt -5 eine +5 setzt, bist du richtig.
> d errechnet indem ich den Normalenvektor mit dem
> Stützvektor der Parameterform gebildet habe.
>
> Nun hab ich
> E: 35x - 5y - 25z = 15 | /5
> E: 7x - y - 5z = 3 [mm]\not=[/mm] Gegebene Lösung: E: 7x + y -5z =
> -1
S.h. oben, berechne das Kreuzprodukt nochmal neu, und sehe, dass +5 herauskommt! Du hast nämlich wohl bei der Berechnung des Kreuzproduktes vergessen, dass vor der zweiten Vektorkomponente IMMER ein - davor muss! Denn das erklärt, warum du -5 dort stehen hast und nicht +5, und deinen Fehler nicht gesehen hast =)
>
>
> Und liege ich dann richtig, dass ich eigentlich (auch wenns
> bei dem Beispiel grad nicht geklappt hat) durch das
> Vektorprodukt aus einer Parameterform einen Normalenvektor
> bilden kann.
Ja, das ist auch die Methode, die ich immer anwende, um aus der Parameterform eine Normalenform zu machen.
Kann ich dann auch einfach den Stützvektor der
> Parameterform in einer Normalenform benutzen?
Wie meinst du das? Damit du den Normalenvektor für die Normalenform bekommst, musst du immer die beiden Richtungsvektoren der Parameterform wählen. Damit du dann hinterher dein d bestimmen kannst, ist es am einfachsten, einfach den Stützvektor zu nehmen.
Kann ich aus
> dem Normalenvektor die Koordinatenform ablesen, wie ichs
> gemacht habe und dann d errechnen, in dem ich mit dem
> Stützvektor der Parameterform multiliziere?
Deine Vorgehensweise war schon korrekt, zur Berechnung von d.
>
> Dann hätte ich nämlich fast alle Umformungen.
> Dann wäre es lieb, wenn mir jemand die einfachste Weise
> zeigt, von Koordinatenform zurück in Normalenform. Und wie
> komme ich von der Normalenform in die Parameterform am
> kürzesten?
Von deiner Koord.form in Normalenform ist es ganz einfach: Du schreibst dann einfach wieder den Normalenvektor hin, den man ja aus den Koeffizienten der [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_3 [/mm] ablesen kann. Dann kannst du schonmal schreiben [mm] \vec{n}*\vec{x}=d. [/mm] Dann bist du schon (fast) fertig.
Um von Koord. in die Parameterform zu gelangen ist es noch einfahcer: Du wählst dir drei Punkte aus, die diene Koord. Form erfüllen, so erhälst du drei Punkte, die auf der Ebene liegen. Wenn du drei Punkte hast, die auf einer Ebenen liegen, dann weist du ja schon, wie du uns oben gezeigt hast, wie man daraus eine Parameterform herstellt.
LG,
Kroni
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Duffel |
Vielen lieben Dank!
> > Gegeben sind die Punkte A(3/-2/4), B(-1/1/-1) und C(2/5/4),
> > sowie die Ursprungsgerade mit g: [mm]\vec{x}[/mm] = t [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
>
> >
> > Zeigen Sie, dass A, B und C Eckpunkte eines gleichseitigen
> > Dreiecks sind, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E
> > durch die Punkte A, B, C in Parameter- und Kooerdinatenform
> > (mögliche Lösung: 7x + y -5z = -1)
> > So,
> >
> > [mm]\Delta[/mm] ABC [mm]\Rightarrow \vmat{ \overrightarrow{AB} }[/mm] =
> > [mm]\vmat{ \overrightarrow{BC} }[/mm] = [mm]\vmat{ \overrightarrow{AC} } \approx[/mm]
> > 7,07; q.e.d.
> >
> > Parameterform (Dreipunktform) E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ -3 \\ -2 \\ 4 }[/mm]
> > + r [mm]\pmat{ -4 \\ 3 \\ -5 }[/mm] + s [mm]\pmat{ 3 \\ 4 \\ 5 }[/mm]
> >
> > [mm]\to[/mm] Koordinatenform:
> >
> > 1: x = 3 - 4r + 3s
> > 2: y = -2 + 3r + 4s
> > 3: z = 4 -5r +5s
> >
> > Nun hab ich hin und hergerechnet, bis ich zu r und s
> > aufgelöst hab und eingesetzt. Find ich mühselig. Hab auch
> > ein Ergebnis rausbekommen, welches allerdings ziemlich lang
> > ist und ich keine Lust hab immer das dann zu überprüfen.
>
> Hi,
>
> das kann ich imr denken, dass du darauf keine Lust hast.
> >
> > Nun hab ich mir das Vektorprodukt angelernt. Man kann also
> > mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren einen
> > Normalenvektor bilden.
> >
> > Der doch da wäre: [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\pmat{ 35 \\ \[red ]-5[/red] \\ -25 }[/mm]
>
>
> HIER hast du deinen Fehler gemacht! Es muss +5 heißen, und
> nicht -5.
> > Mit
> > [mm]\vec{n} \Rightarrow[/mm] E: 35x - 5y - 25z = d
> > mit d = [mm]\pmat{ 35 \\ -5 \\ -25 }[/mm] * [mm][i]\pmat{ 3 \\ -2 \\ 4 }[/i][/mm]
> =
> > 105 + 10 -100 =15
> >
>
> Wenn du hier anstatt -5 eine +5 setzt, bist du richtig.
>
>
> > d errechnet indem ich den Normalenvektor mit dem
> > Stützvektor der Parameterform gebildet habe.
> >
> > Nun hab ich
> > E: 35x - 5y - 25z = 15 | /5
> > E: 7x - y - 5z = 3 [mm]\not=[/mm] Gegebene Lösung: E: 7x + y -5z
> =
> > -1
>
> S.h. oben, berechne das Kreuzprodukt nochmal neu, und sehe,
> dass +5 herauskommt! Du hast nämlich wohl bei der
> Berechnung des Kreuzproduktes vergessen, dass vor der
> zweiten Vektorkomponente IMMER ein - davor muss! Denn das
> erklärt, warum du -5 dort stehen hast und nicht +5, und
> deinen Fehler nicht gesehen hast =)
>
Jap, so ähnlich. Ich Holzkopf hab bei der zweiten Komponente von links oben runter gerechnet. Aber ja, mein Fehler war genau da :-(
> >
>
> >
> > Und liege ich dann richtig, dass ich eigentlich (auch wenns
> > bei dem Beispiel grad nicht geklappt hat) durch das
> > Vektorprodukt aus einer Parameterform einen Normalenvektor
> > bilden kann.
>
> Ja, das ist auch die Methode, die ich immer anwende, um aus
> der Parameterform eine Normalenform zu machen.
Warum meine Lehrerin uns das noch nicht beigebracht hat ist mir dann auch ein Rätsel... :-(
>
> Kann ich dann auch einfach den Stützvektor der
> > Parameterform in einer Normalenform benutzen?
>
> Wie meinst du das? Damit du den Normalenvektor für die
> Normalenform bekommst, musst du immer die beiden
> Richtungsvektoren der Parameterform wählen. Damit du dann
> hinterher dein d bestimmen kannst, ist es am einfachsten,
> einfach den Stützvektor zu nehmen.
>
Hab mich vertan. Ich meine einen Richtungsvektor der Parameterform als [mm] \vec{p} [/mm] ? Oder welchen Vektor muss ich als [mm] \vec{p} [/mm] in der Normalenform nehmen, wenn ich den [mm] \vec{n} [/mm] per Kreuzprodukt erhielt?
> Kann ich aus
> > dem Normalenvektor die Koordinatenform ablesen, wie ichs
> > gemacht habe und dann d errechnen, in dem ich mit dem
> > Stützvektor der Parameterform multiliziere?
>
> Deine Vorgehensweise war schon korrekt, zur Berechnung von
> d.
>
> >
> > Dann hätte ich nämlich fast alle Umformungen.
> > Dann wäre es lieb, wenn mir jemand die einfachste Weise
> > zeigt, von Koordinatenform zurück in Normalenform. Und wie
> > komme ich von der Normalenform in die Parameterform am
> > kürzesten?
>
> Von deiner Koord.form in Normalenform ist es ganz einfach:
> Du schreibst dann einfach wieder den Normalenvektor hin,
> den man ja aus den Koeffizienten der [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_3[/mm] ablesen
> kann. Dann kannst du schonmal schreiben [mm]\vec{n}*\vec{x}=d.[/mm]
> Dann bist du schon (fast) fertig.
>
Also bei meinem Beispiel wäre das ja 7x; 1y; -5z = -1
Ist [mm] \vec{n} [/mm] nun [mm] \vektor{7 \\ 1 \\ -5}?
[/mm]
Und welchen Vektor [mm] \vec{p} [/mm] nehme ich dann?
[mm] \vec{n}*\vec{p}=0 [/mm] ; hier ja aber =-1 :-(
> Um von Koord. in die Parameterform zu gelangen ist es noch
> einfahcer: Du wählst dir drei Punkte aus, die diene Koord.
> Form erfüllen, so erhälst du drei Punkte, die auf der Ebene
> liegen. Wenn du drei Punkte hast, die auf einer Ebenen
> liegen, dann weist du ja schon, wie du uns oben gezeigt
> hast, wie man daraus eine Parameterform herstellt.
>
Also setzt du dann immer ein? Ich hab mal nachgeschaut und ich habe das immer so gemacht, dass ich habe
7x +y -5z = -1
Zu x hin umstellen:
x + [mm] \bruch{1}{7}y [/mm] - [mm] \bruch{5}{7}z [/mm] = - [mm] \bruch{1}{7}
[/mm]
x = - [mm] \bruch{1}{7}y [/mm] + [mm] \bruch{5}{7}z [/mm] - [mm] \bruch{1}{7}
[/mm]
y = y
z = z
Und dann wäre doch die Parameterform:
E: [mm] \vec{x}= \vektor{ - \bruch{1}{7} \\ 0 \\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{ - \bruch{1}{7} \\ 1 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{ \bruch{5}{7} \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Soweit richtig?
Wie denke ich mir denn Punkte aus? Muss ich nun einfach für x, y und z was ausdenken, was die Gleichung erfüllt? Wie mach ich das denn am einfachsten, ohne auszuprobieren? Also, ich machs nunmal mit ausprobieren und überschlagen. Ich nehme die Punkte:
P1 mit [mm] (1/1/\bruch{7}{5})
[/mm]
P2 mit (0/-1/0)
P3 mit [mm] (-\bruch{1}{7}/0/0)
[/mm]
Dann 3-Punktform [mm] \to [/mm] Parameterform mit
[mm] E:\vec{x}=\vektor{P2-P1 \\ r (P3-P2) \\ s (P3-P1)}
[/mm]
[mm] E:\vec{x}=\vektor{-1 \\ -2 \\ -\bruch{7}{5}} [/mm] + r [mm] \vektor{-\bruch{1}{7}/ \\ 1 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{-1\bruch{1}{7} \\ -1 \\ -\bruch{7}{5}}
[/mm]
Ich muss doch dann beide gleichsetzen, um zu sehen, ob sie parallel sind und dann den einen Stützvektor der einen Ebene gleich die komplette andere Ebenengleichung setzen, um zu sehen, ob sie identisch sind, gelle?
> LG,
>
> Kroni
>
Danke nochmals!
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|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Kroni |
> Vielen lieben Dank!
>
Hi,
kein Problem.
> >
> > Ja, das ist auch die Methode, die ich immer anwende, um aus
> > der Parameterform eine Normalenform zu machen.
>
> Warum meine Lehrerin uns das noch nicht beigebracht hat ist
> mir dann auch ein Rätsel... :-(
Sollt ihr denn schon das "Umwandeln" können?! Vielleicht kommt das ja genau nach den Ferien dran, also können müsstet ihr das mit dem Kreuzprodukt eg. schon.
>
> >
> >
>
> Hab mich vertan. Ich meine einen Richtungsvektor der
> Parameterform als [mm]\vec{p}[/mm] ? Oder welchen Vektor muss ich
> als [mm]\vec{p}[/mm] in der Normalenform nehmen, wenn ich den
> [mm]\vec{n}[/mm] per Kreuzprodukt erhielt?
Du musst für dein [mm] \vec{n}\cdot\vec{p}, [/mm] damit du d bestimmen kannst, einen Ortsvektor eines Punktes nehmen, der auf deiner Ebene liegt. Dazu bietet sich der Stützvektor deiner Ebene in Parameterform an. Mit dem Richtungsvektor gehts nicht, da es kein Ortsvektor eines Punktes ist!
>
> Also bei meinem Beispiel wäre das ja 7x; 1y; -5z = -1
> Ist [mm]\vec{n}[/mm] nun [mm]\vektor{7 \\ 1 \\ -5}?[/mm]
Ja, das ist so korrekt.
> Und welchen Vektor
> [mm]\vec{p}[/mm] nehme ich dann?
Einen Ortsvektor eines Punktes, der auf deiner Ebenen liegt.
> [mm]\vec{n}*\vec{p}=0[/mm] ; hier ja aber =-1 :-(
Jein. Da hast du etwas falsch verstanden. Es muss ja gelten:
[mm] \vec{n}\cdot\vec{x}-\vec{n}\cdot\vec{p}=0 [/mm] Das ist die Normalenform. Es heißt nicht, dass das letzte Skalarprodukt gleich Null sein muss! Es heißt nur, dass die Summe aus den beiden Skalarprodukten Null sein muss!
>
>
u
> >
>
> Also setzt du dann immer ein? Ich hab mal nachgeschaut und
> ich habe das immer so gemacht, dass ich habe
>
> 7x +y -5z = -1
> Zu x hin umstellen:
> x + [mm]\bruch{1}{7}y[/mm] - [mm]\bruch{5}{7}z[/mm] = - [mm]\bruch{1}{7}[/mm]
>
> x = - [mm]\bruch{1}{7}y[/mm] + [mm]\bruch{5}{7}z[/mm] - [mm]\bruch{1}{7}[/mm]
> y = y
> z = z
>
> Und dann wäre doch die Parameterform:
> E: [mm]\vec{x}= \vektor{ - \bruch{1}{7} \\ 0 \\ 0}[/mm] + r
> [mm]\vektor{ - \bruch{1}{7} \\ 1 \\ 0}[/mm] + s [mm]\vektor{ \bruch{5}{7} \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Soweit richtig?
Sorry, aber das kann ihc auf die Schnelle nicht überbrücken, und habe gerade keine Möglichkeit, mir das sauber aufzuschreiben.
>
> Wie denke ich mir denn Punkte aus? Muss ich nun einfach für
> x, y und z was ausdenken, was die Gleichung erfüllt?
Ja, genau. Jedes 3-Tupel (x,y,z), welches die Koord.Gleichung deiner Ebene erfüllt, liegt auf der Ebenen. Dann kannst du aus drei Punkten die Parameterform herstellen.
> Wie
> mach ich das denn am einfachsten, ohne auszuprobieren?
> Also, ich machs nunmal mit ausprobieren und überschlagen.
> Ich nehme die Punkte:
Ja, eine andere Möglichkeit fällt mir auch nicht ein, ohne die Punkte zu "raten";)
>
> P1 mit [mm](1/1/\bruch{7}{5})[/mm]
> P2 mit (0/-1/0)
> P3 mit [mm](-\bruch{1}{7}/0/0)[/mm]
>
> Dann 3-Punktform [mm]\to[/mm] Parameterform mit
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{P2-P1 \\ r (P3-P2) \\ s (P3-P1)}[/mm]
>
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{-1 \\ -2 \\ -\bruch{7}{5}}[/mm] + r
> [mm]\vektor{-\bruch{1}{7}/ \\ 1 \\ 0}[/mm] + s
> [mm]\vektor{-1\bruch{1}{7} \\ -1 \\ -\bruch{7}{5}}[/mm]
Ich nehme mal an, dass deine Rechnung stimmt.
Du kannst aber auch einfach mal [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gleich Null setzen, und dann gucken, was für [mm] x_3 [/mm] gelten muss und analog für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2. [/mm] Dann bekommst du meist schönere Punkte heraus=)
>
> Ich muss doch dann beide gleichsetzen, um zu sehen, ob sie
> parallel sind und dann den einen Stützvektor der einen
> Ebene gleich die komplette andere Ebenengleichung setzen,
> um zu sehen, ob sie identisch sind, gelle?
Ja. Wenn sie identisch sind, dann reicht es eigentlich schon aus, beide Parameterdarstellungen gleichzustezen. Dann hast du vier unbekannt eund drei Gleichungen. Daraus kannst du dann schon sehen, ob sie Parallel sind oder nicht
Einfacher geht die Anschhauung via Normalvektoren. Denn dann kannst du ganz einfach sagen, wann die Ebenen parallel sind (wann das gilt, überlasse ich deiner Anschauung), und dann musst du noch gucken, ob ein Punkt deiner einen Ebenen in der anderen Ebene liegt, und dann weist du auch, ob sie echt parallel sind, oder eben identisch.
Liebe Grüße,
kroni
>
> > LG,
> >
> > Kroni
> >
>
>
> Danke nochmals!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Duffel |
> > > Ja, das ist auch die Methode, die ich immer anwende, um aus
> > > der Parameterform eine Normalenform zu machen.
> >
> > Warum meine Lehrerin uns das noch nicht beigebracht hat ist
> > mir dann auch ein Rätsel... :-(
>
> Sollt ihr denn schon das "Umwandeln" können?! Vielleicht
> kommt das ja genau nach den Ferien dran, also können
> müsstet ihr das mit dem Kreuzprodukt eg. schon.
>
Ja, nach den Ferien Wiederholen wir wahrscheinlich nur noch. Vielleicht kommt´s dann.
> >
> > >
>
> > >
> >
> > Hab mich vertan. Ich meine einen Richtungsvektor der
> > Parameterform als [mm]\vec{p}[/mm] ? Oder welchen Vektor muss ich
> > als [mm]\vec{p}[/mm] in der Normalenform nehmen, wenn ich den
> > [mm]\vec{n}[/mm] per Kreuzprodukt erhielt?
>
Ja, das leuchtet mir ein, das hab ich verstanden. Nur meinte ich das anders. Wie ich d ausrechne, weiß ich ja nun. Ich hab ja einen Normalenvektor aus der Parameterform gebildet, per Kreusprodukt. Wenn ich den nun aber garnicht benutzt will, um eine Koordinatenform zu erstellen, sondern eine Normalenform. Dann hab ich ja den [mm] \vec{n}.
[/mm]
Die Formel lautet doch für die Normalenform:
[mm] (\vec{x}-\vec{p})*\vec{n}=0
[/mm]
Wie bekomme ich nun [mm] \vec{p}? [/mm] Ohne den, weiß die Ebene ja nicht, wo sie Ihren Normalenvektor hinsetzen soll Oder muss ich hier auch einfach irgendeinen Ortsvektor der Ebene nehmen?
>
> > Und welchen Vektor
> > [mm]\vec{p}[/mm] nehme ich dann?
>
> Einen Ortsvektor eines Punktes, der auf deiner Ebenen
> liegt.
Versteh ich.
> > [mm]\vec{n}*\vec{p}=0[/mm] ; hier ja aber =-1 :-(
>
> Jein. Da hast du etwas falsch verstanden. Es muss ja
> gelten:
> [mm]\vec{n}\cdot\vec{x}-\vec{n}\cdot\vec{p}=0[/mm] Das ist die
> Normalenform. Es heißt nicht, dass das letzte Skalarprodukt
> gleich Null sein muss! Es heißt nur, dass die Summe aus den
> beiden Skalarprodukten Null sein muss!
Leuchtet ein. Also den Normalenvektor aus der Koordinatenform ablesen.
Und als [mm] \vec{p} [/mm] einfach einen Ortsvektor nehmen, welcher dann als Stützvektor dient, richtig? Ist also genauso wie bei der Parameterform, nur dass hier der Normalenvektor reicht, und man keine 2 Richtungsvektoren braucht?
> >
> >
> u
> > >
> >
> > Also setzt du dann immer ein? Ich hab mal nachgeschaut und
> > ich habe das immer so gemacht, dass ich habe
> >
> > 7x +y -5z = -1
> > Zu x hin umstellen:
> > x + [mm]\bruch{1}{7}y[/mm] - [mm]\bruch{5}{7}z[/mm] = - [mm]\bruch{1}{7}[/mm]
> >
> > x = - [mm]\bruch{1}{7}y[/mm] + [mm]\bruch{5}{7}z[/mm] - [mm]\bruch{1}{7}[/mm]
> > y = y
> > z = z
> >
> > Und dann wäre doch die Parameterform:
> > E: [mm]\vec{x}= \vektor{ - \bruch{1}{7} \\ 0 \\ 0}[/mm] + r
> > [mm]\vektor{ - \bruch{1}{7} \\ 1 \\ 0}[/mm] + s [mm]\vektor{ \bruch{5}{7} \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> >
> > Soweit richtig?
>
> Sorry, aber das kann ihc auf die Schnelle nicht
> überbrücken, und habe gerade keine Möglichkeit, mir das
> sauber aufzuschreiben.
Kein Ding. Ich werds nun auch immer so machen, dass ich 2 Parameter 0 setze.
> >
> > Wie denke ich mir denn Punkte aus? Muss ich nun einfach für
> > x, y und z was ausdenken, was die Gleichung erfüllt?
>
> Ja, genau. Jedes 3-Tupel (x,y,z), welches die
> Koord.Gleichung deiner Ebene erfüllt, liegt auf der Ebenen.
> Dann kannst du aus drei Punkten die Parameterform
> herstellen.
>
> > Wie
> > mach ich das denn am einfachsten, ohne auszuprobieren?
> > Also, ich machs nunmal mit ausprobieren und überschlagen.
> > Ich nehme die Punkte:
>
> Ja, eine andere Möglichkeit fällt mir auch nicht ein, ohne
> die Punkte zu "raten";)
>
> >
> > P1 mit [mm](1/1/\bruch{7}{5})[/mm]
> > P2 mit (0/-1/0)
> > P3 mit [mm](-\bruch{1}{7}/0/0)[/mm]
> >
> > Dann 3-Punktform [mm]\to[/mm] Parameterform mit
> > [mm]E:\vec{x}=\vektor{P2-P1 \\ r (P3-P2) \\ s (P3-P1)}[/mm]
> >
> > [mm]E:\vec{x}=\vektor{-1 \\ -2 \\ -\bruch{7}{5}}[/mm] + r
> > [mm]\vektor{-\bruch{1}{7}/ \\ 1 \\ 0}[/mm] + s
> > [mm]\vektor{-1\bruch{1}{7} \\ -1 \\ -\bruch{7}{5}}[/mm]
>
> Ich nehme mal an, dass deine Rechnung stimmt.
> Du kannst aber auch einfach mal [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] gleich Null
> setzen, und dann gucken, was für [mm]x_3[/mm] gelten muss und analog
> für [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2.[/mm] Dann bekommst du meist schönere Punkte
> heraus=)
S.o.; werd ich machen Kann ich auch einfach 3 Punkte der Normalenform erraten und in die 3-Punkte-Parameterform einsetzen?
Oder muss ich wie wirs nun gemacht haben, von der Normalenform die Koordinatenform ablesen, dann gleich einem Punkt setzen, um d zu bekommen. Und DANN 3 Punkte erraten um die Parameterform zu bekommen? Oder was is am einfachsten um aus der Normalenform in die Parameterform zu gelangen?
>
> >
> > Ich muss doch dann beide gleichsetzen, um zu sehen, ob sie
> > parallel sind und dann den einen Stützvektor der einen
> > Ebene gleich die komplette andere Ebenengleichung setzen,
> > um zu sehen, ob sie identisch sind, gelle?
>
> Ja. Wenn sie identisch sind, dann reicht es eigentlich
> schon aus, beide Parameterdarstellungen gleichzustezen.
> Dann hast du vier unbekannt eund drei Gleichungen. Daraus
> kannst du dann schon sehen, ob sie Parallel sind oder
> nicht
> Einfacher geht die Anschhauung via Normalvektoren. Denn
> dann kannst du ganz einfach sagen, wann die Ebenen parallel
> sind (wann das gilt, überlasse ich deiner Anschauung), und
> dann musst du noch gucken, ob ein Punkt deiner einen Ebenen
> in der anderen Ebene liegt, und dann weist du auch, ob sie
> echt parallel sind, oder eben identisch.
>
Alles klar!
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Ja, den oben von dir erfragten [mm] \vec{p} [/mm] kannst du beliebig als einen Ortsvektor wählen. Eine Ebene enthält alle Ortsvektoren, die du bereits hast; somit ist es beliebig von welchem Punkt aus du die Ebene aufspannst.
Und ja, wie schon richtig von dir gesagt, fungiert dann dieser vorige Ortsvektor nun als Stüzvektor in der Normalenform.
Ja, man braucht hier nur den Normalenvektor und keine 2 Richtungsvektoren.
Alle Punkte "der Ebene liegen in einer Ebene, die orthogonal zum Normalenvektor steht" (ich hoffe du verstehst den dummen Satz aber mir fällt nichts besseres ein), und sind dadurch klar definiert.
Man kann einfach von der Normalenform in die Parameterform gelangen, indem man einfach den Stüzvektor der Normalenform ebenfalls für die Parameterform benutzt. Nun musst du nur noch 2 Richtungsvektoren bestimmt, welche orthogonal zum Richtungsvektor sind; sprich deren Kreuzprodukt den Normalenvektor ergäbe.
Dieses "Erraten" von der Koordinatenform in die Parameterform kann man machen; man kann auch die Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen und diese dann als 3 Punkte nehmen, zwischen welcher man die Ebene aufspannt.
Hoffe ich hab keine Fragen übersehen; wenn doch, bitte einfach nochmal stellen :D
Lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Duffel |
> Huhu
Ahoi!
> Ja, den oben von dir erfragten [mm]\vec{p}[/mm] kannst du beliebig
> als einen Ortsvektor wählen. Eine Ebene enthält alle
> Ortsvektoren, die du bereits hast; somit ist es beliebig
> von welchem Punkt aus du die Ebene aufspannst.
> Und ja, wie schon richtig von dir gesagt, fungiert dann
> dieser vorige Ortsvektor nun als Stüzvektor in der
> Normalenform.
Roger.
> Ja, man braucht hier nur den Normalenvektor und keine 2
> Richtungsvektoren.
> Alle Punkte "der Ebene liegen in einer Ebene, die
> orthogonal zum Normalenvektor steht" (ich hoffe du
> verstehst den dummen Satz aber mir fällt nichts besseres
> ein), und sind dadurch klar definiert.
Jo, versteh ich.
> Man kann einfach von der Normalenform in die Parameterform
> gelangen, indem man einfach den Stüzvektor der Normalenform
> ebenfalls für die Parameterform benutzt. Nun musst du nur
> noch 2 Richtungsvektoren bestimmt, welche orthogonal zum
> Richtungsvektor sind; sprich deren Kreuzprodukt den
> Normalenvektor ergäbe.
Und wie bestimmt man die? :-(
Und wie würde ich das ohne Kreuzprodukt machen?
> Dieses "Erraten" von der Koordinatenform in die
> Parameterform kann man machen; man kann auch die
> Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen und diese dann als 3
> Punkte nehmen, zwischen welcher man die Ebene aufspannt.
Du meinst ax+by+cz=1 oder?
Ich könnte doch auch
ax+by+cz=d
Zu x umstellen ->
[mm] x=\bruch{d}{a}-by-cz
[/mm]
y =y
z=z
Und dann ablesen?
So hab ich das immer gemacht, oder ist das einfacher, indem ich wie du meintest die Achsenabschnittsform nehme?
> Hoffe ich hab keine Fragen übersehen; wenn doch, bitte
> einfach nochmal stellen :D
Done.
Danke dir!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Diese 2 zum Normalenvektor orthogonalen Vektoren sind relativ flexibel machbar; hauptsache das Skalarprodukt des Normalenvektors und des Richtungsvektors ergibt 0.
Wenn du z.B. den Normalenvektor [mm] \vektor{3\\ 2\\1} [/mm] vorliegen hast, wären mögliche Richtungsvektoren:
[mm] \vektor{1\\ 0\\-3} [/mm] oder auch [mm] \vektor{2\\ -3\\0} [/mm] oder auch [mm] \vektor{0\\ 1\\-2} [/mm] sowie alle beliebigen Vielfachen dieser.
Pass nur auf, dass du nicht "2 mal den selben Richtungsvektor nimmst", da sonst keine Ebene aufgespannt wird sondern nur eine Gerade entsteht!
Ich persönlich setze immer, der Einfachheit halber, einen Parameter 0.
Wenn du bei den Richtungsvektoren jeweils einen anderen Parameter 0 setzt, z.B. bei dem ersten RiVe die x- und bei dem zweiten RiVe die y- Koordinate 0 setzt, ist eine Identität der beiden Richtungsvektoren ausgeschlossen.
Nein, das Erstellen der Ebene wäre mit den Schnittpunkten mit den Achsen wahrscheinlich "langwieriger"; dann müsstest du diese immer zunächst ausrechnen.
Ich weiß nicht für was du länger brauchst aber wenn du mit deinem Verfahren gut zurecht kommst, behalte es ruhig bei :)
Ciao, Lg
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