Parameter für Dichtefunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Mit reellen Parametern a,b und c ist die folgende Funktion gegeben:
[mm] f_x(x)=\left\{\begin{matrix}
2x-x^2, & \mbox{für } 0 \le x \le 1\\
ax+b, & \mbox{für } 1 < x \le \bruch{5}{3}\\
0, & \mbox{sonst.}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Bestimmen Sie die Parameter so, das [mm] f_x [/mm] stetige Dichtefunktion einer Verteilungsfunktion [mm] F_x [/mm] ist.
Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz. |
Hallo zusammen,
bei der Aufgabe komme ich leider nicht weiter.
Hier meine bisherige Lösung:
Ich weiß das für die Dichtefunktion
[mm] \integral_{}^{} f_x(x)\, [/mm] dx =1
gelten muss. Also hab ich erstmal das Integral für den Wertebereich von 0 bis 1 ausgerechnet und bekomme dafür
[mm] \left[ x^2-\bruch{1}{3}x^3 \right] [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Daraus schließe ich, das die Gleichung mit den Paranmetern gleich [mm] \bruch{1}{3} [/mm] sein muss.
[mm] \bruch{1}{3}=\integral_{1}^{\bruch{5}{3}} ax+b\, [/mm] dx
Das a kann ich noch vor das Integral ziehen und dann lösen
[mm] \bruch{1}{3}=a\left[\bruch{x^2}{2}+bx\right]
[/mm]
Ab hier weiß ich dann nicht mehr so recht weiter.
Kann mir jemand einen Tip geben wie es weiter geht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Do 04.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Mit reellen Parametern a,b und c ist die folgende Funktion
> gegeben:
> [mm]f_x(x)=\left\{\begin{matrix}
2x-x^2, & \mbox{für } 0 \le x \le 1\\
ax+b, & \mbox{für } 1 < x \le \bruch{5}{3}\\
0, & \mbox{sonst.}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Parameter so, das [mm]f_x[/mm] stetige
> Dichtefunktion einer Verteilungsfunktion [mm]F_x[/mm] ist.
> Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz.
> Hallo zusammen,
> bei der Aufgabe komme ich leider nicht weiter.
>
> Hier meine bisherige Lösung:
> Ich weiß das für die Dichtefunktion
> [mm]\integral_{}^{} f_x(x)\,[/mm] dx =1
> gelten muss. Also hab ich erstmal das Integral für den
> Wertebereich von 0 bis 1 ausgerechnet und bekomme dafür
> [mm] \left[ x^2-\bruch{1}{3}x^3 \right][/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> Daraus schließe ich, das die Gleichung mit den
> Paranmetern gleich [mm]\bruch{1}{3}[/mm] sein muss.
>
> [mm]\bruch{1}{3}=\integral_{1}^{\bruch{5}{3}} ax+b\,[/mm] dx
Soweit richtig, aber zu wenig. Die Dichtefunktion wird wohl auch stetig sein müssen. Daraus folgt dann der Funktionswert von f(x):=ax+b an der Stelle x=1.
> Das a kann ich noch vor das Integral ziehen und dann
> lösen
> [mm]\bruch{1}{3}=a\left[\bruch{x^2}{2}+bx\right][/mm]
>
Stopp - falsch! Wie klammerst du denn a aus b*x aus und was ist mit den Grenzen? Es ist doch ein bestimmtes Integral!
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Do 04.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Soweit richtig, aber zu wenig. Die Dichtefunktion wird wohl
> auch stetig und monoton wachsend sein müssen.
Wieso sollte sie? Die einzigen Forderungen an eine Dichtefunktion sind zunächst mal
[mm] - f(x)\ge{0}
[/mm]
- [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1
[/mm]
EDIT: jetzt habe ich die Forderung nach der Stetigkeit im Themenstart auch entdeckt, damit wäre das ja geklärt. Daher habe ich den Titel dieser Mitteilung nochmals abgeändert.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Do 04.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo,
>
> > Soweit richtig, aber zu wenig. Die Dichtefunktion wird
> wohl
> > auch stetig und monoton wachsend sein müssen.
>
>
> Wieso sollte sie? Die einzigen Forderungen an eine
> Dichtefunktion sind zunächst mal
>
> [mm]- f(x)\ge{0}[/mm]
>
> - [mm]\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1[/mm]
>
> EDIT: jetzt habe ich die Forderung nach der Stetigkeit im
> Themenstart auch entdeckt, damit wäre das ja geklärt.
> Daher habe ich den Titel dieser Mitteilung nochmals
> abgeändert.
>
>
> Gruß, Diophant
Und mein Hinweis auf die Monotonie war schlicht Unfug und ist mittlerweile auch entsprechend ausgebessert.
Gruß RMix
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Hallo rmix22,
danke für den Hinweis mit dem a.
Ich hab das korrigiert und nun folgende Lösung erhalten
[mm] \bruch{1}{3}=\integral_{1}^{\bruch{5}{3}}{ax+b} [/mm] dx
Wenn ich das Integral auflöse , bekomme ich [mm] \left[\bruch{a}{2}x^2+bx\right]
[/mm]
Jetzt einsetzen
[mm] \bruch{1}{3}=2,7778\bruch{a}{2}-\bruch{a}{2}+\bruch{5}{3}b-b
[/mm]
a und b zusammenfassen
[mm] \bruch{1}{3}=0,8889a+\bruch{2}{3}b
[/mm]
nach b umstellen
b=-1,3334a+0,5
Das wäre meine vorläufige Lösung für b. Ist das soweit korrekt? Wenn ja, würde ich das für b einsetzen und müsste dann einen Wert für a bekommen.
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Hallo,
vorneweg: es ist bei solchen Aufgaben völlig widersinnig, mit irgendwelchen gerundeten Werten oder periodischen Dezimalbrüchen etc. zu arbeiten. Verwende Brüche!
> Hallo rmix22,
>
> danke für den Hinweis mit dem a.
> Ich hab das korrigiert und nun folgende Lösung erhalten
>
> [mm]\bruch{1}{3}=\integral_{1}^{\bruch{5}{3}}{ax+b}[/mm] dx
>
Das ist der richtige Ansatz, dem Integranden fehlen jedoch Klammern!
> Wenn ich das Integral auflöse , bekomme ich
> [mm]\left[\bruch{a}{2}x^2+bx\right][/mm]
>
> Jetzt einsetzen
>
> [mm]\bruch{1}{3}=2,7778\bruch{a}{2}-\bruch{a}{2}+\bruch{5}{3}b-b[/mm]
>
> a und b zusammenfassen
>
> [mm]\bruch{1}{3}=0,8889a+\bruch{2}{3}b[/mm]
Hier steckt ein Rechenfehler. Es macht aber wie schon gesagt keinen Sinn, diese Rechnung mit gerundeten Dezimalzahlen irgendwie auseinaderzudröseln.
Ich möchte dir ersatzweise einen Hinweis geben. Das Resultat ist erstaunlich einfach, wenn man sich mal den Funktionswert der Dichte an der Stelle x=1 klarmacht und jetzt überlegt, was an Fläche auf der rechten Seite noch fehlt, dann kann man es im Kopf 'rechnen', wobei das Wort Rechnen hier schon ziemlich übertrieben ist.
Gruß, Diophant
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Ok.
Für x=1 bekomme ich eine Wahrscheinlichkeit von 100%.
Da mehr nicht geht, würde ich jetzt vermuten das a und b = 0 sein sollten und damit die Gleichung eigentlich überflüssig ist.
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Hallo,
> Ok.
> Für x=1 bekomme ich eine Wahrscheinlichkeit von 100%.
> Da mehr nicht geht, würde ich jetzt vermuten das a und b
> = 0 sein sollten und damit die Gleichung eigentlich
> überflüssig ist.
Das ist jetzt völlig falsch. Die Dichtefunktion einer stetigen Verteilung liefert keine Wahrscheinlichkeit zurück, sondern es ist grundsätzlich P(X=c)=0.
Der Wert deiner Dichtefunktion an x=1 wird mit f(1)=1 ja noch durch den ersten Term bestimmt. Jetzt überlege mal zwei Dinge:
- welche Fläche fehlt noch nach rechts?
- wie breit ist die fehlende Fläche entlang der x-Achse?
Wie muss diese Fläche demnach aussehen, also welche Form muss sie haben? Daraus kann man die Werte für a und b sofort ohne Rechnung bestimmen. Das tue bitte und dann geh nochmal an die Rechnung, aber mit Brüchen. Es ist bspw.
[mm] \left(\bruch{5}{3}\right)^2=\bruch{25}{9}
[/mm]
Bruchrechnung durchaus auf Schulniveau. Das Beispiel dient hier dazu, dass du draufklicken kannst, um die Syntax zu sehen falls du wegen mangelnder LaTeX-Kenntnisse Dezimalzahlen verwendet hast.
Bestätige also dann mit einer exakten Rechnung die aus der oben angeregten Überlegung gewonnenen Werte für a und b.
Gruß, Diophant
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Hallo,
die fehlende Fläche müsste [mm] \bruch{1}{3} [/mm] betragen und die Breite des Abschnitts auf der x-Achse müsste [mm] \bruch{5}{3}-1=\bruch{2}{3} [/mm] sein.
Mir ist aber nimmer noch nicht klar wie ich damit auf a und b schließen soll.
Aber ich weiß ja das ax+b eine Geradengleichung beschreibt und aus dem benötigten Verlauf weiß ich auch, dass a negativ sein muss.
Ich habe mir jetzt mit den Punkten P1(1|1) und [mm] P2(\bruch{5}{3}|0) [/mm] versucht, mich den Werten für a und b zu nähern und hab jetzt für a=-1.5 und b=2.5 berechnet. Liege ich damit in der Nähe oder bin ich wieder auf dem Holzweg?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Do 04.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> die fehlende Fläche müsste [mm]\bruch{1}{3}[/mm] betragen und die
> Breite des Abschnitts auf der x-Achse müsste
> [mm]\bruch{5}{3}-1=\bruch{2}{3}[/mm] sein.
>
> Mir ist aber nimmer noch nicht klar wie ich damit auf a und
> b schließen soll.
>
> Aber ich weiß ja das ax+b eine Geradengleichung beschreibt
> und aus dem benötigten Verlauf weiß ich auch, dass a
> negativ sein muss.
>
> Ich habe mir jetzt mit den Punkten P1(1|1) und
> [mm]P2(\bruch{5}{3}|0)[/mm] versucht, mich den Werten für a und b
> zu nähern und hab jetzt für a=-1.5 und b=2.5 berechnet.
> Liege ich damit in der Nähe oder bin ich wieder auf dem
> Holzweg?
Aus
$ [mm] \bruch{1}{3}=\integral_{1}^{\bruch{5}{3}}{(ax+b) dx} [/mm] $ bekommst Du eine erste Gleichung für a und b.
Da f stetig sein soll, muss gelten:
(*) [mm] \limes_{x \rightarrow\ 1-0}f(x)= [/mm] f(1)= [mm] \limes_{x \rightarrow\ 1+0}f(x).
[/mm]
Aus (*) bekommst Du eine zweite Gleichung für a und b.
FRED
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Hallo,
> Hallo,
>
> die fehlende Fläche müsste [mm]\bruch{1}{3}[/mm] betragen und die
> Breite des Abschnitts auf der x-Achse müsste
> [mm]\bruch{5}{3}-1=\bruch{2}{3}[/mm] sein.
>
> Mir ist aber nimmer noch nicht klar wie ich damit auf a und
> b schließen soll.
>
> Aber ich weiß ja das ax+b eine Geradengleichung beschreibt
> und aus dem benötigten Verlauf weiß ich auch, dass a
> negativ sein muss.
>
> Ich habe mir jetzt mit den Punkten P1(1|1) und
> [mm]P2(\bruch{5}{3}|0)[/mm] versucht, mich den Werten für a und b
> zu nähern und hab jetzt für a=-1.5 und b=2.5 berechnet.
> Liege ich damit in der Nähe oder bin ich wieder auf dem
> Holzweg?
Auf selbigem war zunächst einmal ich (bin schließlich studierter Holztechniker  ). Insofern vergiss bitte die geometrische Überlegung, die war falsch.
Zu deinem Ergebnis: deine Resultate sind richtig. Weshalb verweigerst du so nachhaltig die Verwendung von Brüchen?
Mach es nochmals so, wie FRED und rmix22 geschrieben haben, und informiere dich über die Grundlagen, denn da sind schon ziemliche Lücken offenkundig.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Do 04.09.2014 | | Autor: | karl_soost |
Hallo zusammen,
mit Hilfe der zweiten Gleichung aus der Grenzwertbetrachtung konnte ich die Werte für a und b berechnen.
Ein großes Dankeschön an alle die sich die Zeit genommen haben, um mir zu helfen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:38 Di 17.02.2015 | | Autor: | Rockstar |
Hallo zusammen!
Ich habe eine ähnliche Aufgabe zu lösen und bin nun auf diese Ausführungen gestoßen. Zur Übung möchte ich diese Aufgabe auch gern lösen und das dann auf meine Aufgabe übertragen.
Ich habe für die erste Formel für a und b folgendes berechnet:
[mm] \bruch{3}{9}=\bruch{8}{9}a [/mm] + [mm] \bruch{6}{9}b
[/mm]
Aber wie komme ich nun auf die zweite Formel?
Grüße
Rockstar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Di 17.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe eine ähnliche Aufgabe zu lösen und bin nun auf
> diese Ausführungen gestoßen. Zur Übung möchte ich diese
> Aufgabe auch gern lösen und das dann auf meine Aufgabe
> übertragen.
>
> Ich habe für die erste Formel für a und b folgendes
> berechnet:
>
> [mm]\bruch{3}{9}=\bruch{8}{9}a[/mm] + [mm]\bruch{6}{9}b[/mm]
>
> Aber wie komme ich nun auf die zweite Formel?
Das steht hier:
https://matheraum.de/read?i=1033837
FRED
>
> Grüße
> Rockstar
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Di 17.02.2015 | | Autor: | Rockstar |
Hallo FRED!
Danke für deine Rückmeldung.
Könntest du das bitte noch etwas weiter ausführen?
Evtl. stehe ich hier auf dem Schlauch, aber irgendwie komme ich nicht weiter...
Danke!
Rockstar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:39 Mi 18.02.2015 | | Autor: | Rockstar |
Hallo nochmal!
Ich habe mir die Sache nun noch einmal genauer angesehen und bin zu folgendem Schluss gekommen.
FRED hatte auf die Grenzwerte aufgrund der Stetigkeit hingewiesen.
Daraus folgt, dass an der Stelle x=1 die erste und die zweite Formel für f(x) gleich sein müssen.
Über das Gleichsetzen bekommt man dann
a=- [mm] \bruch{3}{2}.
[/mm]
Einsetzen in
[mm] \bruch{3}{9}=\bruch{8}{9}a+\bruch{6}{9}b [/mm]
und es folgt a=-1,5 b=2,5
right?
Gruß
Rockstar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Mi 18.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal!
>
> Ich habe mir die Sache nun noch einmal genauer angesehen
> und bin zu folgendem Schluss gekommen.
>
> FRED hatte auf die Grenzwerte aufgrund der Stetigkeit
> hingewiesen.
>
> Daraus folgt, dass an der Stelle x=1 die erste und die
> zweite Formel für f(x) gleich sein müssen.
>
> Über das Gleichsetzen bekommt man dann
> a=- [mm]\bruch{3}{2}.[/mm]
> Einsetzen in
>
> [mm]\bruch{3}{9}=\bruch{8}{9}a+\bruch{6}{9}b[/mm]
>
> und es folgt a=-1,5 b=2,5
>
> right?
Yes, it is left !
FRED
>
> Gruß
> Rockstar
>
>
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:18 Di 07.07.2015 | | Autor: | EMOW |
Hallo zusammen,
ich konnte leider noch nicht nachvollziehen, wie an der Stelle x=1 die beiden Gleichungen gleichgesetzt werden und der Parameter a ermittelt werden kann, kann mir dieses jemand erklären?
Vielen Dank.
Gruß
EMOW
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 09.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Do 04.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Was mich an deiner Frage stutzig macht ist folgendes:
> Mit reellen Parametern a,b und c ist die folgende Funktion
> gegeben:
> [mm]f_x(x)=\left\{\begin{matrix}
2x-x^2, & \mbox{für } 0 \le x \le 1\\
ax+b, & \mbox{für } 1 < x \le \bruch{5}{3}\\
0, & \mbox{sonst.}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
Wo ist denn da das c geblieben? Bist du hier sicher, die Aufgabe korrekt und vollständig wiedergegeben zu haben?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Do 04.09.2014 | | Autor: | karl_soost |
Hallo Diophant,
die Aufgabe ist so richtig abgeschrieben. Das c taucht im Text auf, aber in der Dichtefunktion nicht mehr.
Gruß karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Do 04.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> die Aufgabe ist so richtig abgeschrieben. Das c taucht im
> Text auf, aber in der Dichtefunktion nicht mehr.
Ok, danke für deine Rückmeldung! Meine Frage diente nur der Absicherung, dass die Hilfestellung auch zielführend ist. Die Antwort von rmix22 sollte dir fachlich weiterhelfen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 31.05.2015 | | Autor: | Fipsmops |
Hallo zusammen !
Ich habe dieselbe Aufgabe vor mir liegen und bin bei der Berechnung des Erwartungswertes etwas ins Grübeln gekommen.
Erst einmal mein Lösungsansatz:
E(X) = [mm] \integral_{0}^{1}{(2x-x^2)*x dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{\bruch{5}{3}}{(-1,5x + 2,5)*x dx}
[/mm]
Wenn ich das nun alle ausrechne und zusammen addiere komme ich auf den Wert [mm] \bruch{89}{108}.
[/mm]
Mir kommt es etwas komisch vor, dass so ein "krummer" Wert rauskommt.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank im Vorraus.
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Hiho,
> Wenn ich das nun alle ausrechne und zusammen addiere komme
> ich auf den Wert [mm]\bruch{89}{108}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mir kommt es etwas komisch vor, dass so ein "krummer" Wert rauskommt.
Warum?
Gruß,
Gono
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