Param. nach d. Bogenlänge < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Mo 20.04.2009 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die logarithmische Spirale
[mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] e^{-t}(cost,sint), [/mm] t [mm] \in \IR
[/mm]
die Parametrisierung nach der Bogenlänge von [mm] t_0=0 [/mm] aus. |
Hallo Leute,
gerade habe ich meine Differentialgeometrie-Vorlesung begonnen und dies ist unsere erste Aufgabe.
Nachdem ich zuerst versucht hatte diese Aufgabe durch Raten/Ausprobieren zu lösen, bin ich auf die Idee gekommen es anders zu versuchen:
Ich habe angesetzt:
[mm] \gamma(s) [/mm] = [mm] e^{-s}(cos(\phi(s)), sin(\phi(s)))
[/mm]
Habe dann [mm] \gamma'(s) [/mm] berechnet
und dann [mm] ||\gamma'(s)|| [/mm] durchgerechnet bis ich zu dem Punkt kam:
[mm] e^{-s}*\wurzel{\phi'(s)+1}
[/mm]
Damit das Ergebnis von [mm] ||\gamma'(s)|| [/mm] gleich 1 ist, muss also
[mm] \wurzel{\phi'(s)+1} [/mm] = [mm] e^s [/mm] gelten.
Das habe ich dann nach [mm] \phi'(s) [/mm] aufgelöst, heraus kommt
[mm] \phi'(s) [/mm] = [mm] \wurzel{e^{2s}-1}
[/mm]
Mithilfe von Derive habe ich das aufgeleitet und erhalte:
[mm] \phi(s)=\wurzel{e^{2s}-1}-arctan(\wurzel{e^{2s}-1})
[/mm]
Meine Frage lautet: Ist das richtig soweit? Kann man das so machen? Oder muss man das ganz anders angehen??
VG, cauchy
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Hallo cauchy,
> Bestimmen Sie für die logarithmische Spirale
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]e^{-t}(cost,sint),[/mm] t [mm]\in \IR[/mm]
>
> die Parametrisierung nach der Bogenlänge von [mm]t_0=0[/mm] aus.
> Hallo Leute,
>
> gerade habe ich meine Differentialgeometrie-Vorlesung
> begonnen und dies ist unsere erste Aufgabe.
>
> Nachdem ich zuerst versucht hatte diese Aufgabe durch
> Raten/Ausprobieren zu lösen, bin ich auf die Idee gekommen
> es anders zu versuchen:
>
> Ich habe angesetzt:
>
> [mm]\gamma(s)[/mm] = [mm]e^{-s}(cos(\phi(s)), sin(\phi(s)))[/mm]
Hier mußt Du ansetzen:
[mm]\gamma(s)[/mm] = [mm]e^{-\red{\phi}\left(s\right)}(cos(\phi(s)), sin(\phi(s)))[/mm]
>
> Habe dann [mm]\gamma'(s)[/mm] berechnet
> und dann [mm]||\gamma'(s)||[/mm] durchgerechnet bis ich zu dem
> Punkt kam:
>
> [mm]e^{-s}*\wurzel{\phi'(s)+1}[/mm]
>
> Damit das Ergebnis von [mm]||\gamma'(s)||[/mm] gleich 1 ist, muss
> also
>
> [mm]\wurzel{\phi'(s)+1}[/mm] = [mm]e^s[/mm] gelten.
>
> Das habe ich dann nach [mm]\phi'(s)[/mm] aufgelöst, heraus kommt
>
> [mm]\phi'(s)[/mm] = [mm]\wurzel{e^{2s}-1}[/mm]
>
> Mithilfe von Derive habe ich das aufgeleitet und erhalte:
>
> [mm]\phi(s)=\wurzel{e^{2s}-1}-arctan(\wurzel{e^{2s}-1})[/mm]
>
> Meine Frage lautet: Ist das richtig soweit? Kann man das so
> machen? Oder muss man das ganz anders angehen??
>
> VG, cauchy
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 20.04.2009 | | Autor: | cauchy |
Ok, danke, das klärt schon mal einiges.
Ich habe das angesetzt und ich erhalte irgendwann:
... = [mm] e^{-\phi(s)}*\wurzel{(\phi'(s))^2*2}
[/mm]
Also muss [mm] \wurzel{(\phi'(s))^2*2} [/mm] = [mm] e^{\phi(s)} [/mm] sein (bzw [mm] e^{\phi(s)}=\wurzel{2}*\phi(s) [/mm] )
Das sieht nach einer Differentialgleichung aus, oder? Da war ich noch nie besonders gut drin, die zu lösen... irgendein Ansatz?
LG, cauchy
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Hallo cauchy,
> Ok, danke, das klärt schon mal einiges.
>
> Ich habe das angesetzt und ich erhalte irgendwann:
>
> ... = [mm]e^{-\phi(s)}*\wurzel{(\phi'(s))^2*2}[/mm]
>
> Also muss [mm]\wurzel{(\phi'(s))^2*2}[/mm] = [mm]e^{\phi(s)}[/mm] sein (bzw
> [mm]e^{\phi(s)}=\wurzel{2}*\phi(s)[/mm] )
>
> Das sieht nach einer Differentialgleichung aus, oder? Da
> war ich noch nie besonders gut drin, die zu lösen...
> irgendein Ansatz?
So eine Differentialgleichung löst man durch ![[]](/images/popup.gif) Trennung der Veränderlichen.
>
> LG, cauchy
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 20.04.2009 | | Autor: | cauchy |
Ok, habe in meinem Analysis 3 Skript nachgeguckt und das was bei Wikipedia steht auch wiedergefunden.
Ich beziehe mich jetzt auf mein Analysis 3 Skript, dort steht:
y'=f(t)g(y)
zu lösen durch:
[mm] \int_{y_0}^{y(t)}{\bruch{dx}{g(x)}} [/mm] = [mm] \int_{t_0}^{t}{f(s)ds}
[/mm]
Die Differentialgleichung, die zu lösen ist, lautet ja nun
[mm] \phi' [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*e^{\phi} [/mm] (oder?) (also ist hier jetzt [mm] \phi [/mm] = y)
Also ist f(t) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
und [mm] g(\phi)=e^{\phi}
[/mm]
So [mm] t_0 [/mm] ist ja in der Aufgabenstellung angegeben, was ist aber mit [mm] \phi_0??
[/mm]
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Hallo cauchy,
> Ok, habe in meinem Analysis 3 Skript nachgeguckt und das
> was bei Wikipedia steht auch wiedergefunden.
>
> Ich beziehe mich jetzt auf mein Analysis 3 Skript, dort
> steht:
>
> y'=f(t)g(y)
> zu lösen durch:
> [mm]\int_{y_0}^{y(t)}{\bruch{dx}{g(x)}}[/mm] =
> [mm]\int_{t_0}^{t}{f(s)ds}[/mm]
>
> Die Differentialgleichung, die zu lösen ist, lautet ja nun
>
> [mm]\phi'[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*e^{\phi}[/mm] (oder?) (also ist
> hier jetzt [mm]\phi[/mm] = y)
>
> Also ist f(t) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> und [mm]g(\phi)=e^{\phi}[/mm]
>
> So [mm]t_0[/mm] ist ja in der Aufgabentellung angegeben, was ist
> aber mit [mm]\phi_0??[/mm]
[mm]\phi_{0}[/mm] ist die Bogenlänge für [mm]t=t_{0}=0[/mm].
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mo 20.04.2009 | | Autor: | cauchy |
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> [mm]\phi_{0}[/mm] ist die Bogenlänge für [mm]t=t_{0}=0[/mm].
>
Hmm, das hilft mir irgendwie nicht weiter... wie meinst du das?
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Hallo cauchy,
> >
> >
> > [mm]\phi_{0}[/mm] ist die Bogenlänge für [mm]t=t_{0}=0[/mm].
> >
> Hmm, das hilft mir irgendwie nicht weiter... wie meinst du
> das?
>
>
Es ist
[mm]t=\phi\left(s\right)[/mm]
Demnach gilt auch
[mm]t_{0}=\phi\left(s_{0}\right)=\phi_{0}=0[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Mi 22.04.2009 | | Autor: | cauchy |
Danke!!
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