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| Aufgabe | Zeigen Sie für beliebige u; v [mm] \in R^3
[/mm]
[mm] |u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2) [/mm] |
[mm] |u+v|^2+|u-v|^2= |u|^2+|v|^2+|u|^2+|-v|^2
[/mm]
durch das quadrieren wird [mm] |-v|^2 [/mm] positiv
also [mm] |-v|^2=|v|^2
[/mm]
[mm] |u|^2+|v|^2+|u|^2+|v|^2
[/mm]
[mm] 2(|u|^2+|v|^2)
[/mm]
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> Zeigen Sie für beliebige u; v [mm]\in R^3[/mm]
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> [mm]|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2)[/mm]
> [mm]|u+v|^2+|u-v|^2= |u|^2+|v|^2+|u|^2+|-v|^2[/mm]
>
>
> durch das quadrieren wird [mm]|-v|^2[/mm] positiv
>
> also [mm]|-v|^2=|v|^2[/mm]
>
> [mm]|u|^2+|v|^2+|u|^2+|v|^2[/mm]
>
> [mm]2(|u|^2+|v|^2)[/mm]
Och bitte, das tut echt weh... also streng genommen kann man zwar nichts gegen die Gleichheiten sagen, aber da ist nichts gerechnet, sondern wenn man es positiv sehen will, schreibst du einfach das zu beweisende in leicht abgewandelter Form ab.
Ich fürchte allerdings, du machst tatsächlich diesen hässlichen Fehler, nach dem es eigentlich aussieht.
So oder so ist die Aufgabe nicht gelöst.
Tipp: Schau dir an, was der Betrag eines Vektors ist und rechne das alles mal haarklein durch.
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meinst du so?
[mm] |u+v|^2+|u-v|^2
[/mm]
= [mm] (\wurzel{u^2+v^2})^2+(\wurzel{u^2+(-v)^2})^2
[/mm]
[mm] u^2+v^2+u^2+(-v)^2
[/mm]
[mm] 2(u^2+v^2)
[/mm]
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Hallo,
Du bist auf dem ganz falschen Dampfer.
In der ersten Frage schreibst Du doch [mm] u,v\in\IR^3.
[/mm]
Es geht also um Vektoren.
Die kann man z.B. gar nicht quadrieren!
Außerdem kannst Du nicht einfach die Betragsstriche wegnehmen. Im allgemeinen ist [mm] $|u+v|\not=|u|+|v|$, [/mm] es sei denn einer von beiden ist der Nullvektor.
Ebenso gilt normalerweise [mm] $|u-v|\not=|u|-|v|$.
[/mm]
> meinst du so?
>
> [mm]|u+v|^2+|u-v|^2[/mm]
>
> = [mm](\wurzel{u^2+v^2})^2+(\wurzel{u^2+(-v)^2})^2[/mm]
Nein, das hier ist komplett falsch. So kann man nicht umformen.
Grüße
reverend
> [mm]u^2+v^2+u^2+(-v)^2[/mm]
>
> [mm]2(u^2+v^2)[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Do 07.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie für beliebige u; v [mm]\in R^3[/mm]
>
> [mm]|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2)[/mm]
hierbei ist
[mm] $|u|=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}\,.$
[/mm]
Aber damit rechnest Du besser gar nicht. Betrachte das Skalarprodukt
[mm] $\;\;=\;\;u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\,,$
[/mm]
und gucke nach, was für Rechenregeln da gelten, etwa:
[mm] $\;\;=\;\;+$ [/mm] etc.
Damit gilt
[mm] $|u+v|^2\;\;=\;\;\;\;=\;\;...$
[/mm]
und
[mm] $|u-v|^2\;\;=\;\;\;\;=\;\;...$
[/mm]
und dann schreibe halt mal weiter...
Hinweis: [mm] $\;\;=\;\;\;+\;\;\;=\;\;...$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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inzwischen sollte ich die aufgabe lösen kann.
ich bezieh mich aber nur auf [mm] R^2, [/mm] weil ich gerade zu faul bin für [mm] R^3
[/mm]
|u+v|= [mm] (u1+v1)^2+(u2+v2)^2= u_1^2+2u_1v_1+v_1^2+u_2^2+2u_2v_2+v^2
[/mm]
|u-v|= [mm] (u1-v1)^2+(u2-v2)^2= u_1^2-2u_1v_1+v_1^2+u_2^2-2u_2v_2+v^2
[/mm]
|u+v|-|u-v|= [mm] u_1^2+2u_1v_1+v_1^2+u_2^2+2u_2v_2+v^2+u_1^2-2u_1v_1+v_1^2+u_2^2-2u_2v_2+v^2 [/mm]
= [mm] 2u_1^2+2v_1^2+2u_2^2+2v_2^2 [/mm] = [mm] 2(|u|^2+|v|^2)
[/mm]
muss ich das andersrum auch beweisen oder reicht das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Was meinst du mit andersrum beweisen? Für den Fall $n=2$ hast du jetzt alles, wenn auch sehr umständlich, gezeigt, wobei du auch ein paar mal das Quadrat vergessen hast, aber das stört nicht weiter.
Besser ist es jedoch, [mm] $|v|^2=$ [/mm] zu verwenden und die Rechenregeln für das Skalarprodukt zu verwenden, wie schon erwähnt wurde. Das spart nicht nur Schreiberei, sondern beweist die Formel auch in beliebigen Dimensionen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Fr 20.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Teufel,
> Was meinst du mit andersrum beweisen? Für den Fall [mm]n=2[/mm]
> hast du jetzt alles, wenn auch sehr umständlich, gezeigt,
> wobei du auch ein paar mal das Quadrat vergessen hast, aber
> das stört nicht weiter.
Mich stören viel mehr die fehlenden Wurzeln. Die machen die Rechnung ja auf den ersten Blick fragwürdig.
Wenn man dann allerdings feststellt, dass die Quadrate auf der linken Seite fehlen, gehts wieder...
Grüße
reverend
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