Parallelogramm Punkt D < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegegeben sind die Punkte
A(3 / 3 / 1)
B (3 / 0 / -2)
C (1 / 1 / 0)
b) Ermittle einen Punkt D so, dass die Punkte A,B,C und D ein Parallelogramm bilden.
Untersuche das entstandene Parallelogramm auf weitere Eigenschaften. |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich muss diese Aufgabe bearbeiten, jedoch habe ich - wie immer - Probleme mit dem Weg.
Den Punkt D wollte ich als Schnittpunkt von zwei Geraden erhalten.
Ich habe erst einmal eine Skizze gemacht:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 2 (fehlt/gelöscht)]
Die Gerade g kann man sich ja einfach ausrechnen, da die Punkte ja angegeben sind:
[mm] \vec{x}=\vec{a}+\lambda\vec{u}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vec{c}+\lambda\vec{BA}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+\lambda*(\vektor{3 \\ 3 \\ 1}-\vektor{3 \\ 0 \\ -2})
[/mm]
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{0 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
Die Gerade h zu bestimmen finde ich schon wieder schwierig.
Was ist mein OV und was ist mein RV?
Als OV hätte ich A genommen und als RV [mm] \overline{BC}
[/mm]
Kann das stimmen?
Ist meine Idee überhaupt richtig, D als Schnittpunkt zu bestimmen?
Liebe Grüße,
Sarah 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Sa 16.08.2008 | | Autor: | espritgirl |
Hallo,
Sorry,aber mein Bildbearbeitungsprogramm macht mal wieder Ärger...
Hier ist die Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG,
Sarah
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Gegegeben sind die Punkte
> A(3 / 3 / 1)
> B (3 / 0 / -2)
> C (1 / 1 / 0)
>
> b) Ermittle einen Punkt D so, dass die Punkte A,B,C und D
> ein Parallelogramm bilden.
> Untersuche das entstandene Parallelogramm auf weitere
> Eigenschaften.
> Hallo Zusammen ,
>
>
> Ich muss diese Aufgabe bearbeiten, jedoch habe ich - wie
> immer - Probleme mit dem Weg.
>
> Den Punkt D wollte ich als Schnittpunkt von zwei Geraden
> erhalten.
>
> Ich habe erst einmal eine Skizze gemacht:
Immer eine gute Idee.
> Die Gerade g kann man sich ja einfach ausrechnen, da die
> Punkte ja angegeben sind:
>
> [mm]\vec{x}=\vec{a}+\lambda\vec{u}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}=\vec{c}+\lambda\vec{BA}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+\lambda*(\vektor{3 \\ 3 \\ 1}-\vektor{3 \\ 0 \\ -2})[/mm]
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{0 \\ 3 \\ 3}[/mm]
>
>
> Die Gerade h zu bestimmen finde ich schon wieder
> schwierig.
>
> Was ist mein OV und was ist mein RV?
>
> Als OV hätte ich A genommen und als RV [mm]\overline{BC}[/mm]
>
> Kann das stimmen?
>
> Ist meine Idee überhaupt richtig, D als Schnittpunkt zu
> bestimmen?
Natürlich ist es richtig: Du kannst $D$ als Schnittpunkt einer Geraden durch $A$, parallel zu $BC$ und einer Geraden durch $C$, parallel zu $AB$ finden.
Aber es gibt einen einfachern Weg: weil $ABCD$ (in dieser Reihenfolge) ein Parallelogramm sein solll, muss [mm] $\vec{AD}=\vec{BC}$ [/mm] sein und daher gilt [mm] $\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{AD}=\vec{OA}+\vec{BC}$. $\vec{OA}$ [/mm] und [mm] $\vec{BC}$ [/mm] kannst Du aus den gegebenen Koordinaten von $A, B$ und $C$ berechnen - und damit auch [mm] $\vec{OD}$.
[/mm]
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> Hallo Somebody ,
>
> Danke für deine rasche Antwort.
>
> Kannst du mal meine Skizze angucken (siehe Mitteilung) und
> überprüfen, ob sie mit meim Vorschlag
>
> > > Als OV hätte ich A genommen und als RV [mm]\overline{BC}[/mm]
>
> deckt? Ich glaube, du bist von einer anderen Beschriftung
> ausgegangen.
Nein, ich habe gar keine Details der Beschriftung angeschaut. Aber es ist mir nun, aufgrund Deiner Skizze, klar, dass $g$ die Gerade durch $C$, parallel zu $AB$ sein soll. Und, ja, ich glaube, dass Du die Parametergleichung der Geraden $g$ richtig aufgestellt hast.
Nun brauchst Du noch eine entsprechende Gleichung für die Gerade $h$ durch $A$, parallel zu $BC$ und dann kannst Du die beiden Geraden schneiden und wirst so durchaus $D$ bestimmen können.
> Deinen einfacheren Weg finde ich kompliziert 
In diesem Falle hapert es irgendwie bei den Grundkenntnissen. Was sollte zum Beispiel an der Gleichung [mm] $\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{AD}$ [/mm] "kompliziert" sein? Dies besagt doch bloss: um vom Koordinatenursprung $O$ zum Punkt $D$ zu kommen (linke Seite), kann man auch vom Koordinatenursprung $O$ zum Punkt $A$ und dann vom Punkt $A$ zum Punkt $D$ gehen (rechte Seite).
Aus der Parallelogrammeigenschaft von $ABCD$ (in dieser Reihenfolge) müsste auch sogleich einsehbar sein, dass [mm] $\vec{AD}=\vec{BC}$ [/mm] ist: denn diese beiden Vektoren sind parallel, gleich lang und gleichsinnig gerichtet.
Apropos kompliziert: dass Du auf Deinem Weg, zwei Geraden zu schneiden, mehr zu denken und mehr zu rechnen hast ist sicher. Aber "viel Feind - viel Ehr", nehme ich an...
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Hallo Somebody ,
Für h habe ich jetzt die Gerade
[mm] h:\vec{x}=\vec{a}+\vec{BC}
[/mm]
[mm] h:\vektor{3 \\ 3 \\ 1}+\lambda\vektor{-2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
aufgestellt. Die müsste eigentlich richtig sein.
Um den Schnittpunkt auszurechnen muss ich g=h setzen:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+\lambda_{1}*\vektor{0 \\ 3 \\ 3}=\vektor{3 \\ 3 \\ 1}+\lambda_{2}\vektor{-2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Daraus folgt dann
[mm] \lambda_{1}*\vektor{0 \\ 3 \\ 3}-\lambda_{2}\vektor{-2 \\ 1 \\ 2}=\vektor{2 \\2 \\ 1}
[/mm]
Daraus habe ich dann das GS
[mm] 0\lambda_{1}+2\lambda_{2}=2
[/mm]
[mm] 3\lambda_{1}-1\lambda_{2}=2
[/mm]
[mm] 1\lambda_{1}-2\lambda_{2}=1
[/mm]
aufgestellt.
Daraus folgt, dass [mm] \lambda_{2}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] ist.
Dann habe ich [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] in g eingesetzt:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
=7
Mein Schnittpunkt ist dann also (1 / 1 / 7).
Stimmt dieser?
Liebe Grüße,
Sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Sa 16.08.2008 | | Autor: | SLik1 |
Hallo Sarah,
erstmal vorneweg: es gibt 3 lösungen für deine Aufgabe, ob du nur eine oder alle drei brauchst weiß ich leider nicht.
Diese ergeben sich je nachdem, welche Vektoren du als parallelen annimmst.
Die einfachste Lösung für das Problem sieht meiner meinung nach wie folgt aus:
Im Parallelogramm sind die Eigenschauften der parallelen Vektoren (Länge und Lagewinkel der Seiten) ja identisch.
Wenn du die differenz von Zwei punkten bildest (wie geschehen ;) ) dann heißt das, du hast einen Richtungsvektor geschaffen, der genau die Eigenschaften einer Seite des Parallelogramms hat.
Er besitzt genau die Länge der Seite und den Winkel.
Wie oben erwähnt, ist diese Identisch mit der gegenüberliegenden Seite.
Daher kannst du den Punkt einfach per Vektor Addition ermitteln (Achtung: dabei aufpassen, dass es nicht in die falsche richtung ist!)
Somit wäre
D1= C + (B-A)
D2 = A + (C-B)
D3 = B + (A-C)
(hoffe mal dass es grade passt mit den richtungen ;) )
Natürlich kannst du auch wie du es gemacht hast Die Geradengleichungen Aufstellen und deren Schnittpunkt berechnen. Das ist sicher eine gute Übung, nur nicht die simpelste Lösung ;)
Viele Grüße
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Hallo SLik1 ,
Danke für deine Antwort!
Meine Ergebnisse stimmen also, das hätte ich nicht erwartet.
> Somit wäre
> D1= C + (B-A)
> D2 = A + (C-B)
> D3 = B + (A-C)
D1 würde doch meiner Geraden g entsprechen und D2 meiner Geraden h, nur, dass da die Lambdas immer fehlen.
Würde ich die jeweiligen Werte einsetzen, dann würde ich ja einen Punkt erhalten. Das wäre dann mein Schnittpunkt?
Wow, dass wäre dann einfach...
Ich habe noch eine Frage zu den Eigenschaften:
Kann man als Eigenschaft sagen, dass die eine Strecke = der parallelen Strecke ist?
Fehlen mir noch Eigenschaften?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Sa 16.08.2008 | | Autor: | SLik1 |
Ob dir noch Eigenschaften fehlen, die Frage verstehe ich leider nicht ganz
mit C + (A-B) ist eine einfache Vektoraddition gemeint.
also
D1= [mm] \vektor{1 + 3 -3\\ 1 +3 - 0 \\ 0 +1 -(-2)} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 3}
[/mm]
Und du hast Recht:
Im Prinzip ist es das selbe wie mit den Geraden, man nimmt den Richtungsvektor aus AB, setzt ihn mit C zusammen. Allerdings weißt du schon aus der Eigenschaft des Parallelogramms, dass die gegenüberliegende Seite die selbe Länge hat, dass Lamda=1 sein muss, weshalb du es einfach ignorieren kannst.
Wenn du dir unsicher bist wegen der Richtung (also ob es C+(A-B) oder C+(B-A) heißen muss), dann berechne es lieber mit den Geraden :)
aber mit Hilfe einer Skizze und durch kurzes überlegen kommt man recht schnell darauf.
Liebe Grüße und viel Erfolg bei weiteren Aufgaben :)
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Hallo SLik ,
Das Lambda in einem Parallelogramm immer 1 ist, das war mir nicht bewusst. Das liegt wahrscheinlich daran, dass ich eigentlich die Bedeutung von Lambda und Mu nicht kenne...
Kannst du mir vielleicht noch erklären, weshalb Lambda = 1 ist?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Sa 16.08.2008 | | Autor: | SLik1 |
Hi Sarah^^
ok, dann wollen wir mal von vorn beginnen :)
Einen Vektor kannst du dir als einen Pfeil vorstellen, der von einem Punkt
zu einem anderen geht. Der Pfeil zeigt in eine bestimmte Richtung und hat
eine Bestimmte Länge.
Wenn du einen einzelnen Vektor hast, kannst du diesen als Pfeil vom
Nullpunkt zu dem Punkt seiner Koordinaten betrachten.
Dieser Vektor ist dann nur dazu da auf diesen Punkt zu zeigen^^
Also ist es etwas einfacher sich ihn nur als Punkt an einer bestimmten
Stelle im Raum vorzustellen als als Pfeil.
Wenn du nun zwei Vektoren/Punkte voneinander subtrahierst (A-B) dann
ist es jedoch besser sich diesen als Pfeil vorzustellen.
Dieser zeigt nun von Punkt B nach Punkt A und hat genau die Länge des
Abstandes der beiden Punkte.
Man kann diesen (A-B) Vektor jetzt nur als Pfeil denken, der eine Richtung
angibt. Die Länge spielt keine Rolle. Somit kannst du sie mit einer
beliebigen Größe multiplizieren. Mit (A-B)*(-1) zeigt er zB in die andere
Richtung. Normal multipliziert man diesen Vektor so, dass man schöne
Zahlen erhält also macht man aus [mm] \lambda [/mm] (8,8,4) mal eben [mm] \lambda [/mm] (2,2,1), da
es auf die Länge nicht ankommt und sich nur das Lambda verändert. :)
Den Vektor nennen wir jetzt [mm] Richtungsvektor=\lambda\vektor{x \\ y \\ z},
[/mm]
da nur die Richtung die er angeben soll (welche ja von B zu A ist) eine Rolle
spielt.
Unseren neuen Richtungsvektor können wir nun auch frei im Raum hin und
her schieben, indem wir einen sogenannten Stützvektor hinzuaddieren.
C+ [mm] \lamda [/mm] (A-B). Das ganze sieht nun so aus, dass wir unseren
Richtungspfeil mit seinem Pfeilanfang auf den Punkt setzen.
Der Richtungsvektor + Stützvektor können nun, wenn man für lambda ja eh
alles einsetzen kann, auf viele verschiedene Punkte zeigen. Diese Punkte
bilden eine Gerade. :)
So eine Gerade haben wir konstruiert beim finden des Punktes D des
Parallelogramms. Wir haben auf Punkt C den Richtungsvektor AB gesetzt.
Da durch das Lamda allerdings nicht klar ist, welcher Punkt, auf den der RV
zeigen kann gemeint ist, müssen wir ein ganz bestimmtes Lamda
errechnen, nämlich dass, damit der Pfeil, der auf C sitzt genau so lang ist,
damit er auf D zeigt.
Im ersten Fall hast du das getan.
Bei meinem Vorschlag jedoch habe ich Lamda einfach nicht verändert. Ich
habe den Vektor (B-A) berechnet, der genau den Pfeil von A nach B
darstellt, und damit in Länge und Richtung der Seite des Parallelogramms
entspricht, ohne dass ein Lamda verändert wurde, also Lamda=1.
Da die gegenüberliegende Seite gleich ist, kann man genau diesen
Richtungsvektor (also den Pfeil) nehmen, und setzt ihn auf den Punkt C.
Damit setzten wir einfach die Seite AB an C, wecher ja CD entspricht.
Zählt man den Richtungs- und Stützvektor nun einfach zusammen
( C + (B-A) ) muss der Pfeil, der von C ausgeht, genau auf D zeigen!!
Und damit haben wir die Lösung!!
Hoffe das war halbwegs verständlich und nicht zu lang. :)
Wenn du noch mehr Fragen hast melde dich einfach^^
Grüße
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> Hallo Somebody ,
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>
> Ist mein Verfahren denn völlig falsch? Gibt es da
> vielleicht 2 Möglichkeiten der Berechnung?
>
> Ich habe "meinen" Rechnungsweg von
> ![[]](/images/popup.gif) dieser
> Seite.
Auf dieser Seite wird eben genau der Schritt, der bei Dir falsch war, nicht explizit ausgeführt: es wird nur gesagt, dass wenn man $r=-1$ in die Gleichung von $g$ (bzw. $s=1$ in die Gleichung von $h$) einsetze, $S(5|-5|1)$ als Schnittpunkt herauskomme.
>
> Dann müsste die Lösungsstrategie von dieser Seite auch
> falsch sein?!
Nein, der Lösungsweg ist richtig, nur die letzte Teilrechnung, den Wert der rechten Seite der Parametergleichung mit Parameterwert $1$ eingesetzt, hast Du falsch ausgerechnet. Dort bist Du anstelle eines Vektors (eben des Ortsvektors des Schnittpunktes) merkwürdigerweise auf den Skalar $7$ gekommen. Nur dieser Schritt war falsch: eine Linearkombination von Vektoren ist ein Vektor - und wie dieser Vektor in diesem Falle hätte ausgerechnet werden sollen, habe ich in meiner letzten Antwort klar zu machen versucht.
Noch eine Bemerkung zur Möglichkeit mehrerer Lösungen. Ich habe ausdrücklich geschrieben, dass Dein Lösungsweg (oder meiner) nur dann die einzig mögliche Lösung liefert, wenn die Punkte $A,B,C,D$ in dieser Reihenfolge durchlaufen ein Parallelogramm bilden. Der Aufgabentext ist in dieser Frage etwas undeutlich formuliert. Immerhin wird dort nur verlangt, dass man "einen Punkt $D$" bestimmen solle, so dass $A,B,C$ und $D$ ein Parallelogramm bilden. - Es wird also nicht gesagt, dass man alle möglichen Punkte $D$ bestimmen müsse, so dass die vier Punkte, in einer geeigneten Reihenfolge durchlaufen (also nicht notwendigerweise in der Reihenfolge $ABCD$), ein Parallelogramm bilden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Sa 16.08.2008 | | Autor: | espritgirl |
Hallo Somebody ,
> falsch war, nicht explizit ausgeführt: es wird nur gesagt,
> dass wenn man [mm]r=-1[/mm] in die Gleichung von [mm]g[/mm] (bzw. [mm]s=1[/mm] in die
> Gleichung von [mm]h[/mm]) einsetze, [mm]S(5|-5|1)[/mm] als Schnittpunkt
> herauskomme.
Achso, dann hatte ich das völlig falsch aufgefasst.
> Nein, der Lösungsweg ist richtig, nur die letzte
> Teilrechnung, den Wert der rechten Seite der
> Parametergleichung mit Parameterwert [mm]1[/mm] eingesetzt, hast Du
> falsch ausgerechnet.
Okay, dann mache ich das so, wie du es mir geschrieben hast.
Danke für deine Antwort!
Liebe Grße,
Sarah
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das Ergebnis muss doch ein Vektor sein. Es ist
