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| Aufgabe | Parallelogramm
Abbildung: Parallelogramm mit den Ecken A, B, C und D. Die zwei kleineren Seiten werden durch den Vektor y, die zwei anderen Seiten werden durch den Vektor x beschrieben. Die Vektoren x zeigen nach rechts. Die Vektoren y zeigen nach oben. Der Vektor [CB] zeigt nach rechts unten. Der Vektor [AD] zeigt nach rechts oben.
Beweisen sich rechnerisch, dass sich die Diagonalen [AB] und [CB] im Mittelpunkt P halbieren. Beschreiben Sie diese Diagonalen zunächst durch (Abschnitte von) Geraden in Parameterform.
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Ich kann mich erinnern, dass in der Geometrie die Beschreibung sich zwei halbierender Strecken/Geraden durch 1/2 beschrieben wird. Leider kenne ich die Begründung dazu nicht mehr.
Die Parameterformel lautet "x + y*t". Leider weiß ich hier nicht so recht weiter. Soll ich die Vektoren einfach einsetzen? Wenn ja, wie aber komme ich dann auf 1/2? Ist der Ansatz mit 1/2 überhaupt richtig? Wenn ja, welcher Beweis liegt dem zugrunde?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Fr 24.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Steht die Behauptung da so?
"im Mittelpunkt halbieren" ist doch ne Tautologie, Mittelpunkt ist immer in der Mitte.
2. AB und BC koennen nicht 2 Diagonalen sein, egal wie man die Punkte benennt.
3.ohne Koordinatensystem hast du keine Geraden.
Wenn x=AB y=AC ist, dann landest du doch mit x+0,2*y auf der Seite BC und nicht auf der Diagonalen.
Also sieh nochmal die Aufgabenstellung nach.
Gruss leduart
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1. Es tut mir leid, der erste Satz war falsch formuliert. Richtig muss es heißen: "Beweisen Sie rechnerisch, dass P sowohl die Strecke [AD] als auch die Strecke [CB] halbiert. Beschreiben Sie diese Diagonalen zunächst durch (Abschnitte von) Geraden in Parameterform."
2. Die Diagonalen sind natürlich [AD] und [CB], habe mich verschrieben :(
3. Stimmt.
Also wie gesagt, die Diagonalen heißen jeweils [AD] und [CB]. Inwieweit komme ich mit den von mir genannten Ansätzen weiter?
Es tut mir leid für die vielen Fehler. Ich musste mich beeilen und da haben sich leider einige Fehler eingeschlichen. Also jetzt sollte alles richtig sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Fr 24.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du den Vektor [mm] \vec{AD}=\vec{d} [/mm] durch [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] ausdruecken? die gerade bzw. Punkte darauf sind dann [mm] r*\vec{d}
[/mm]
entsprechend mit BC oder CB.
jetzt erreichst du P auf 2 weisen. , das ist aber nur ein punkt. dadurch kriegst du ne Gleichung fuer die beziehung zw. r und s s dabei die laenge der zweiten diagonalen bis P.
setz den plan mal um und schreib, wie weit du kommst.
Gruss leduart.
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1. Bezeichnung der Diagonalen
[mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y} [/mm] = [mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \vec{AD}
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vec{y} [/mm] = [mm] \vec{e} [/mm] = [mm] \vec{BC}
[/mm]
2. Aufstellung der Parametergleichung
[mm] \vec{x} [/mm] + [mm] t*\vec{y} [/mm] = [mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \vec{AD}
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] - [mm] s*\vec{y} [/mm] = [mm] \vec{e} [/mm] = [mm] \vec{BC}
[/mm]
3. Bestimmung von s und t
[mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \vec{e}
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] + [mm] t*\vec{y} [/mm] = [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] s*\vec{y}
[/mm]
t + s = 1
t = s = 1/2, da [mm] \vec{AD} [/mm] und [mm] \vec{BC} [/mm] äquivaltent sind.
[mm] \vec{P} [/mm] = [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] 1/2*\vec{y} [/mm] = [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] 1/2*\vec{y}
[/mm]
Geht das in die richtige Richtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 1. Bezeichnung der Diagonalen
>
> [mm]\vec{x}[/mm] + [mm]\vec{y}[/mm] = [mm]\vec{d}[/mm] = [mm]\vec{AD}[/mm]
> [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]\vec{y}[/mm] = [mm]\vec{e}[/mm] = [mm]\vec{BC}[/mm]
Richtig
Nur deine Bezeichnungen sind nicht ueblich. normalerweise bezeichnet man die ecken eines Vierecks von A angefangen mit A, B, C, D gegen den uhrzeigersinn rumgelaufen. dann waere AB=DC=x AD=BC=y und die Diagonalen AC und BD.
> 2. Aufstellung der Parametergleichung
>
> [mm]\vec{x}[/mm] + [mm]t*\vec{y}[/mm] = [mm]\vec{d}[/mm] = [mm]\vec{AD}[/mm]
> [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]s*\vec{y}[/mm] = [mm]\vec{e}[/mm] = [mm]\vec{BC}[/mm]
Ich hatte dir schon inm frueheren post gesagt, dass das falsch ist: wenn du zu AB=x ein Stueck t*BC=t*y addierst bist du nicht auf d sondern auf der Seite BC! zeichne das mal auf, fuer t=0,5!
Damit ist der Rest falsch.
ausserdem ist d , e ein fester Vektor, die sicher nicht gleich sind. und auch noch in verschiedene Richtungen zeigen!
Zeichne wirklich.
dann nimm 2 verschieden Dreiecke mit Ecke P wie erreichst du P bzw. welche Vektoren ergeben zusammen 0
einen Weg etwa: AP+PB=x (alles Vektoren.) jetzt musst du nur AP und PB richtig ausdruecken und noch ne zweite Gleichung finden!
Gruss leduart
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Das wären Vektoren mit der Ecke P:
[mm] \vec{CP} [/mm] - [mm] \vec{AP} [/mm] - [mm] \vec{y} [/mm] = 0
[mm] \vec{BP} [/mm] - [mm] \vec{DP} [/mm] - [mm] \vec{y} [/mm] = 0
Die Vorzeichen ergeben sich durch die Pfeilrichtungen.
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Mist, da fehlt ja noch was:
[mm]\vec{CP}[/mm] - [mm]\vec{AP}[/mm] - [mm]\vec{y}[/mm] = t*[mm]\vec{e}[/mm] - t*[mm]\vec{d}[/mm] - [mm]\vec{y}[/mm] = 0
[mm]\vec{BP}[/mm] - [mm]\vec{DP}[/mm] - [mm]\vec{y}[/mm] = s*[mm]\vec{e}[/mm] - s*[mm]\vec{d}[/mm] - [mm]\vec{y}[/mm] = 0
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Das ist wohl besser:
[mm]\vec{CP}[/mm] - [mm]\vec{AP}[/mm] - [mm]\vec{y}[/mm] = t*[mm]\vec{e}[/mm] - s*[mm]\vec{d}[/mm] - [mm]\vec{y}[/mm] = 0
[mm]\vec{BP}[/mm] - [mm]\vec{DP}[/mm] - [mm]\vec{y}[/mm] = t*[mm]\vec{e}[/mm] - s*[mm]\vec{d}[/mm] - [mm]\vec{y}[/mm] = 0
[mm]\vec{e}[/mm] = [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]\vec{y}[/mm]
[mm]\vec{d}[/mm] = [mm]\vec{x}[/mm] + [mm]\vec{y}[/mm]
Kann man die Postings auch editieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
koennen wir uns auf namen fuer die Ecken einigen? A links unten, daneben rechts B, dann gehts schraeg rauf nach C und zurueck nach links nach D.
der Vektor von A nach B ist x der Vektor von B nach c ist y ebenso D nach C ist x, A nach D ist y
Diagonalen: d von A nach C e von B nach d
damit ist d=x+y e=y-x
AP=r*d BP=s*e
jetzt ist wenn man von A nach P nach B nach A laeuft r*d+(-s*e)+ (-x)=0
jetzt lauf von A nach A aber ueber P und D oder von B nach B ueber P und C
wenn du von B nach P r*e hast, dann hast du von P nach D (1-r)*e weil du ja noch nicht weisst, dass P in der Mitte ist.
ueberpruef jede deiner Vektorgleichungen, indem du die Vektoren in das Parallelogramm einzeichnest.
Wie du zu deinern Gleichungen kommst versteh ich nicht.
Weitere Kommentare nur noch, wenn du dich an mein A,B,C,D haeltst, oder ne Zeichnung mitschickst/
Gruss leduart
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von A nach A über P & D:
r*d + s*e - y = 0
Die beiden Gleichungen jetzt einfach gleichsetzen?
> wenn du von B nach P r*e hast, dann hast du von P nach D
> (1-r)*e weil du ja noch nicht weisst, dass P in der Mitte
> ist.
Wie ich das einbringen soll, weiß ich leider nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> von A nach A über P & D:
>
> r*d + s*e - y = 0
das ist och falsch! wir hatten e=BD se=BP dann ist solange man nicht weiss, dass BP=PD ist PD=(1-s)*e
denn dass BP+PD=e ist weiss man ja also PD=e-BP=e-se
jetzt schreib fuer d und e noch die entsprechenden ausdruecke in x und y hin.
Dann hast du 2 Gleichungen mit den 2 unbekannten r und s die du loesen sollst.
Gleichsetzen hilft da nicht viel, weil du dann ja nur eine Gl. mit 2 unbekannten hast.
also schreib die 2 Gleichungen, in denen nur noch x,y,r und s vorkommen auf. und loes sie mit Subtraktionsverfahren .
Gruss leduart
>
> Die beiden Gleichungen jetzt einfach gleichsetzen?
>
> > wenn du von B nach P r*e hast, dann hast du von P nach D
> > (1-r)*e weil du ja noch nicht weisst, dass P in der Mitte
> > ist.
>
> Wie ich das einbringen soll, weiß ich leider nicht.
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I r(x+y) - s(y-x) -x = 0
II (1-r)(x+y) + (1-s)(y-x) - y = 0
I + II
1*(x+y) - 1*(y-x) - x - y = 0
x = y
Beim Subtraktionsverfahren bekomme ich da etwas anderes heraus:
I - II
(r(x+y) - s(y-x) -x) - ((1-r)(x+y) + (1-s)(y-x) - y) = 0
(2r-1)*(x+y) + (-(2s-1)(y-x)) + y = 0
2rx + 2ry - x - y - 2sy + 2sx + y - x + y = 0
2rx + 2ry -2sy + 2sx -2x + 2y = 0 | /2
rx + ry - sy + sx - x + y = 0
rx + ry + y = sy - sx + x
mh...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass die 2 Gleichungen nicht beide richtig sind siehst du ja sofort, weil x=y rauskommt, was sicher nicht stimmt.
Also musst du nochmal die zweite ansehen.
Mach dir klar, welches Vektorstueck (1-s)*e und welches s*e ist.
vielleicht zeichnest du mal ein Trapez, da ist p nicht in der Mitte und es wird klarer. (in der Rechnung dann natuerlich trotzdem AB=DC
also schreib in deine Zeichnung rd und (1-r)d und se und (1-s)e rein.
Gruss leduart
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Alles klar, der Untschied ist durch das Trapez klar geworden.
I: rd - se - x = 0
II rd + (1-s)e - y = 0
d = x + y
e = y - x
I - II
(rd - se - x) - (rd + (1-s)e - y) = 0
(-se - x) - ((1-s)e - y) = 0
-(2s-1)e - x + y = 0
(-2s+1)(y-x) - x + y = 0
2sx - 2sy + y - x - x + y = 0
2sx - 2sy + 2sy - 2sx = 0
sx + y = sy + x
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Rechnung ist falsch, s faellt einfach raus.
zeig einfach dass die gl fuer s=r=0,5 richtig sind.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mir faellt grad auf, dass du ja r und s nicht ausrechnen musst, sondern nur zeigen, dass sie 1/2 sind. also pruef in 2 gleichungen nach, ob das stimmt.
Gruss leduart
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Beim Einsetzen in die Gleichungen bekomme ich auch 0 heraus, sollte also stimmen. Könntest du mir noch erklären, warum das 1/2 sein muss? Bei der Beschreibung der Diagonale e = se + (1-s)e verwendest du die Zahl 1. Warum nicht e = se + (5643 - s) sondern 1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn ich von A ausgehe, komm ich doch mit r=1 gerade bei C an. mit groesseren r kaem ich aus dem Viereck raus. 0,5*d bringt mich in die Mitte.
wenn r bzw s 0,3 waere, wuerde ich doch nur weniger als 1/3 der Diagonale haben.
Den mittelpunkt der Seite AB erreichst du von A aus auch, inden du 0,5*x gehst.
e = se + (1-s)e da steht doch einfach: s*e+e-s*e dass das e ist sollte klar sein.
se + (5643 - s)*e=se+5643e-se=5643e [mm] \! [/mm]
Ich will ja einen Teil der ganzen Diagonalen haben, deshalb muss ich sie mit ner Zahl kleiner 1 malnehmen, das soll r oder s sein!
Gruss leduart
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Danke für die Unterstützung und die vielen Hinweise!
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