Parallelogr. das 2 Vek. bilden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt des von den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannten Parallelogramms und den Winkel, den die beiden Vektoren einschließen.
a) [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -2 \\ 1} [/mm] |
Ansatz:
A = | [mm] \vec{a} [/mm] x [mm] \vec{b} [/mm] | = [mm] \wurzel{384} [/mm] FE
Jetzt muss ich den Sinus zwischen Vektor a und Vektor b berechnen... Aber wie?
Danke für ne Antwort.
Katrin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Mark. |
Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels zwischen zwei Geraden lautet:
[mm] cos(\phi)=\bruch{|\vec{a}*\vec{b}|}{|\vec{a}|*|\vec{b}|} [/mm]
Als Flächeninhalt bekomme ich 320 FE raus.
Bitte aktualisier auch mal bei Gelegenheit dein Profil vor allem bzgl. des Math.-Backgrounds, da das bei anderen Fragen evtl. mal verwirrend sein könnte.
EDIT: hab mich oben verschrieben [mm] (\wurzel{320} [/mm] FE)
[desweiteren siehe Mitteilungen unten]
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wie kommt man denn auf 320 FE??
danke im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mo 09.10.2006 | | Autor: | riwe |
ich denke der flächeninhalt beträgt A = [mm] \sqrt{320}=8\sqrt{5}
[/mm]
aber da hat mark sicher nur die wurzel vergessen.
und das skalarprodukt liefert (auch) den winkel zwischen den beiden (richtungs)vektoren (und nicht nur den zwischen den 2 geraden)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Mark. |
ja, sorry. hab die wurzel vergessen.
das mit dem winkel stimmt auch. die formel berechnet genaugenommen den winkel zwischen den beiden richtungsvektoren. hab mich da etwas unpräzise ausgedrückt, da man das in der regel zuerst bei Geraden kennenlernt. Die beiden Vektoren sind die (Richtungs-)vektoren, die dein Parallelogramm aufspannen oder aber eben die der Geraden, falls man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden bestimmen soll.
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wir haben das mitm sinus gelernt und nich mitm kosinus, aber irgendwie keine formel aufgeschrieben.
ich krieg da trotzdem noch Wurzel aus 384 raus. Wie macht man das denn richtig, damit man Wurzel aus 320 rauskriegt?
könnte mir mal jemand bitte die ganze aufgabe vorrechen? ich werd aus diesen ganzen beschreibungen nicht schlau.
danke,
katrin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mo 09.10.2006 | | Autor: | MyChaOS |
[mm] $\vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3} [/mm] = [mm] \vec{a} \times \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{2 * 1 - (3 * (-2))\\ 3*4 - (-4 * 1) \\ 2*4 - (-4 * (-2))} [/mm] = [mm] \vektor{8\\ 16 \\ 0}$
[/mm]
das ist der ungekürzte Normalenvektor, dessen Betrag auch die Fläche des Parallelogramms angibt:
[mm] $|\vec{n}| [/mm] = [mm] \sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2} [/mm] = [mm] \sqrt{8^2+16^2+0^2} [/mm] = [mm] \sqrt{320}$
[/mm]
damit hätten wir die Fläche fehlt noch der Winkel zwischen a und b
das skalarprodukt ist definiert als:
[mm] $\vec{a} \circ \vec{b} [/mm] = [mm] |\vec{a}|*|\vec{b}|* \cos(\phi)$
[/mm]
[mm] $\cos(\phi)=\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}=\frac{a_1*b_1+a_2*b_2+a_3*b_3}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}=\frac{-16-4+3}{|\sqrt{29}|*|\sqrt{21}|}$
[/mm]
der Rest sollte dann kein problem mehr darstellen:
[mm] $\phi [/mm] = 133,54°$
vllt verwechselst du das mit dem winkel zwischen einer Ebene und einer Gerade. Da man in diesem Fall tatsächlich mit dem Sinus rechnet, obwohl das eigentlich auch nur von [mm] $\cos(90°-\phi) [/mm] = [mm] \sin(\phi)$ [/mm] abgeleitet ist da man ja in demfall den Winkel zwischen Normalenvektor und Richtungsvektor berechnet und dieser sich mit dem Winkel zwischen Ebene und Gerade zu 90° ergänzt
UPDATE:
verrechnet bei [mm] |\vec{b}|.
[/mm]
ist jetzt verbessert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Mo 09.10.2006 | | Autor: | riwe |
du kannst natürlich UMSTÄNDLICH den winkel zwischen 2 vektoren auch mit dem sinus berechnen.
definition:
[mm] \mid \vec{a}\times\vec{b}\mid=\mid\vec{a}\cdot\vec{b}\mid\cdot sin\alpha
[/mm]
damit hast du im konkreten fall:
[mm]sin\alpha=\sqrt{\frac{320}{29\cdot 21}}\to \alpha=46.46° (= 180°-133.54°)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Mo 09.10.2006 | | Autor: | MyChaOS |
[mm] $\alpha=46.46°$ [/mm] dürfte in diesem Fall "falsch" sein.
"falsch", ist vllt nicht die richtige Formulierung, aber es ist meiner Meinung nach nicht gemeint:
In der Aufgabe wird ja von dem Parallelogramm geredet und ich denke dass hier nicht nach dem Spitzen Winkel zwischen [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] gefragt sein dürfte, sondern nach dem Innenwinkel des Paralellgramms. Und dieser dürfte meiner Berechnung nach = 180°-46.46° = 133,54° sein. siehe meine Antwort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Mo 09.10.2006 | | Autor: | riwe |
naja falsch! da wäre ich sehr vorsichtig!
das liegt doch daran, dass eben der sinus auch im 2. quadranten positiv ist. schaut halt das parallelogramm nach "links", wo auch immer das ist. und so weiter....
aber ich gratuliere dir, wenn du schon an deinen eigenen berechnungen sofort erkennst, was falsch und richtig ist.
es ging ja auch nur darum zu zeigen, dass man den winkel, den 2 vektoren miteinander einschließen, auch mit dem "sinus" berechnen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Mi 11.10.2006 | | Autor: | MyChaOS |
ich hab schon bemerkt dass du zeigen wolltest dass es auch mit dem sinus geht,
dachte aber wie gesagt, dass hier der Winkel zwischen den Vektoren gefragt ist, welcher eben nicht auf den spitzen Winkel zurückgeführt wird, sonern als der nicht überstumpfe Winkel zwischen den Vektoren wenn man graphisch gesehen die "anfangspunkte" aneinanderlegt.
Mir ist grad keine bessere formulierung eingefallen
und dies geschieht eben genau bei der Formel die ich anwende. und so wie ich des da anwende, wir machen das zur Zeit gerade im Leistungskurs und ich bin mir daher sicher dass mein Ansatz so korrekt ist. Auch meine Vermutung, dass der stumpfe Winkel gemeint ist habe ich daraus gezogen, dass in der Schule das so gewünscht wird.
Ich gebe zu die formulierung "falsch" war etwas unglücklich aber deswegen hatte ich sie auch in anführungszeichen.
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