Parallelität < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo zusammen^^
ich hab mal eine allgemeine Frage zu Ebenen.
Wenn ich z.B. zwei Ebenen habe und die gegenseitige Lage untersuchen soll,dann gibt es ja 2 mögliche Lagen.Einmal schneidend und einmal paralle.
Bei schneidend muss ich sie ja gleichsetzen.Aber ich versteh nicht,wie ich überprüfen kann ob die parallel sind.Also es ist klar,dass wenn ich überprüft habe,ob sie sich schneiden,und sie dies nicht tun,dass sie dann parallel sind.
Aber wie kann ich ohne vorher zu gucken,ob sie sich schneiden,überprüfen,ob die parallel sind.
Bei Geraden hat man ja die Richtungsvektoren gleichgesetzt mit einem Skalar vor einem.
Ich nehme mal als Beispiel
[mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\lambda\cdot{}\vektor{2 \\ 4 \\ 6}+\mu\cdot{}\vektor{7 \\ 8 \\ 7}
[/mm]
und
[mm] E_{2}:\vec{x}=\vektor{-1 \\ 6 \\ -1}+r\cdot{}\vektor{5 \\ 3 \\ 5}+s\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Jetzt habe ich die vier Richtungsvektoren:
[mm] \lambda\cdot{}\vektor{2 \\ 4 \\ 6}+\mu\cdot{}\vektor{7 \\ 8 \\ 7},r\cdot{}\vektor{5 \\ 3 \\ 5}+s\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Wie mache ich das jetzt?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
Du ermittelst für beide Ebenen den Normalenvektor. Dazu bildest Du aus den beiden Richtungsvektoren das Vektorprodukt/Kreuzprodukt. Sind die beiden gefundenen Normalenvektoren Vielfache voneinander, dann sind die beiden Ebenen parallel.
Wenn Du lieber ein Gleichungssystem löst, dann kannst Du auch schauen, ob
[mm]\lambda\cdot{}\vektor{2 \\ 4 \\ 6}+\mu\cdot{}\vektor{7 \\ 8 \\ 7}\red{=}r\cdot{}\vektor{5 \\ 3 \\ 5}+s\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 4}[/mm]
darstellbar ist. Das sind allerdings nur drei Gleichungen für die vier Unbekannten [mm] \lambda, \mu, [/mm] r und s. Du wirst also eine davon als Parameter nehmen müssen.
Wenn es eine Lösung gibt, bei der keine der Unbekannten 0 ist, sind die Ebenen parallel. Gibt es keine solche Lösung, sind sie es nicht.
Ich finde, ehrlich gesagt, den Weg mit den Normalenvektoren einfacher.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen Dank.
Normalenvektoren hatten wir noch nicht,deswegen mache ich es mit dem Gleichungssystem.Also ich hab
[mm] \lambda\cdot{}\vektor{2 \\ 4 \\ 6}+\mu\cdot{}\vektor{7 \\ 8 \\ 7}\red{=}r\cdot{}\vektor{5 \\ 3 \\ 5}+s\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Mein Gleichungssystem lautet:
1.) [mm] 2\lambda+7\mu=5r+s
[/mm]
2.) [mm] 4\lambda+8\mu=3r+s
[/mm]
3.) [mm] 8\lambda+7\mu=5r+4s
[/mm]
Ich hab versucht da System am geschicktesten umzustellen und hab
[mm] \lambda=-1.52\mu
[/mm]
kann ich jetzt dieses [mm] \lambda=-1.52\mu [/mm] oben beim Vektor für [mm] \lambda [/mm] einsetzen?Dann hab ich
[mm] \mu\cdot{}\vektor{-3.04 \\ -6.08 \\ -9.12}\red{=}r\cdot{}\vektor{5 \\ 3 \\ 5}+s\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Und mein Gleichungssystem:
1.) [mm] -3.04\mu=5r+s
[/mm]
2.) [mm] -6.08\mu=3r+s
[/mm]
3.) [mm] -9.12\mu=5r+4s
[/mm]
Wenn ich das System aber lse,komme ich auf eine falshe Aussage: [mm] -3.04\mu=-24.8\mu.
[/mm]
Das heißt,dass das System nur lösbar ist,wenn ich für alle Variablen 0 einsetze.
Beudeutet das jetzt,dass die Ebenen nicht parallel sind?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Mi 11.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok,vielen Dank.
>
> Normalenvektoren hatten wir noch nicht,deswegen mache ich
> es mit dem Gleichungssystem.Also ich hab
>
> [mm]\lambda\cdot{}\vektor{2 \\ 4 \\ 6}+\mu\cdot{}\vektor{7 \\ 8 \\ 7}\red{=}r\cdot{}\vektor{5 \\ 3 \\ 5}+s\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 4}[/mm]
>
Das ist nicht richtig !
Wenn Du die Ebenen gleichsetzt, erhälst Du
[mm]\vektor{1 \\ 2\\ 3} + \lambda\cdot{}\vektor{2 \\ 4 \\ 6}+\mu\cdot{}\vektor{7 \\ 8 \\ 7}\red{=}\vektor{-1 \\ 6 \\ -1} + r\cdot{}\vektor{5 \\ 3 \\ 5}+s\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 4}[/mm]
FRED
> Mein Gleichungssystem lautet:
>
> 1.) [mm]2\lambda+7\mu=5r+s[/mm]
> 2.) [mm]4\lambda+8\mu=3r+s[/mm]
> 3.) [mm]8\lambda+7\mu=5r+4s[/mm]
>
> Ich hab versucht da System am geschicktesten umzustellen
> und hab
>
> [mm]\lambda=-1.52\mu[/mm]
>
> kann ich jetzt dieses [mm]\lambda=-1.52\mu[/mm] oben beim Vektor für
> [mm]\lambda[/mm] einsetzen?Dann hab ich
>
> [mm]\mu\cdot{}\vektor{-3.04 \\ -6.08 \\ -9.12}\red{=}r\cdot{}\vektor{5 \\ 3 \\ 5}+s\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 4}[/mm]
>
> Und mein Gleichungssystem:
>
> 1.) [mm]-3.04\mu=5r+s[/mm]
> 2.) [mm]-6.08\mu=3r+s[/mm]
> 3.) [mm]-9.12\mu=5r+4s[/mm]
>
> Wenn ich das System aber lse,komme ich auf eine falshe
> Aussage: [mm]-3.04\mu=-24.8\mu.[/mm]
> Das heißt,dass das System nur lösbar ist,wenn ich für alle
> Variablen 0 einsetze.
> Beudeutet das jetzt,dass die Ebenen nicht parallel sind?
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Aber ich wollte doch nicht die Ebenen,sondern die Richtungsvektoren gleichsetzen,um zu schauen ob die Ebenen parallel sind.
Ist meine Rechnung trotzdem falsch?
lg
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Hallo Mandy,
ich habe Deine Rechnung zwar nicht überprüft, aber Du hast Recht: die Ebenen sind nicht parallel. Von daher kann das Gleichungssystem auch keine Lösung haben, die die geforderten Bedingungen erfüllt.
Übrigens ist ein ähnlicher Weg "sauberer" und hat auch nur vollständig bestimmte Gleichungssysteme. Zu zeigen wäre, dass jeder einzelne der beiden Richtungsvektoren einer Ebene aus einer Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene darzustellen ist. Wenn ja, sind die Ebenen parallel, wenn nein, dann nicht.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Do 12.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok vielen Dank^^
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