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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Parallele Tangente und Gerade
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Parallele Tangente und Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:05 Mi 24.12.2008
Autor: matherein

Aufgabe
In welchen Punkten ist die Tangente an den Graphen der Funktion f parallel zu der Geraden mit der Gleichung y= [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] -4?
f(x) = x³ -x

Hallo an alle Forenmitglieder,

diese Aufgabe habe ich in keinem anderen Forum gestellt.

Mein Lösungsansatz:
Ableitung von f(x) bilden und mit der Gleichung y gleichsetzen.
2x² - 1 = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] -4
Um den Punkt zu bekommen, an dem die Tangente parallel zu der Geraden y ist, muss man doch rechnen:
2x² = 0,5
Man bekommt raus: [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{\bruch{1}{4}} [/mm]

Im Lösungsbuch steht aber als Lösung:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm]

Was rechne ich also falsch?

Danke für die Hilfe im Voraus.
matherein

        
Bezug
Parallele Tangente und Gerade: f'(x) = g'(x)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Mi 24.12.2008
Autor: Loddar

Hallo matherein!


Du musst hier jeweils beide Ableitungen gleichsetzen. Schließlich bedeutet "gleiche Ableitung" auch "gleiche Steigung".

Zudem hast Du dich bei der Ableitung von $f(x) \ = \ [mm] x^2-x$ [/mm] verrechnet. Es muss heißen:
$$f'(x) \ = \ [mm] \red{3}*x^2-1$$ [/mm]

Also lautet auch Deine Bestimmungsgleichung:
[mm] $$3*x^2-1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Parallele Tangente und Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Mi 24.12.2008
Autor: matherein

Hallo und danke für die Korrektur Loddar!

Allerdings erhalte ich dann für x:
3x² -1 = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
3x² = [mm] \bruch{3}{2} [/mm]
x² = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm]
Laut Lösungsbuch kommt doch aber für x raus:
[mm] x_{1}=\bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] und [mm] x_{2}=-\bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm]
Wie kann das sein? Und wie rechnet man die beiden y-Werte der zwei Punkte aus?
matherein


Bezug
                        
Bezug
Parallele Tangente und Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Mi 24.12.2008
Autor: XPatrickX


> Hallo und danke für die Korrektur Loddar!

Hallo!

>  
> Allerdings erhalte ich dann für x:
>  3x² -1 = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  3x² = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>  x² = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]-\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
>  Laut Lösungsbuch kommt doch aber für x raus:
>  [mm]x_{1}=\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] und
> [mm]x_{2}=-\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm]

Die Lösungen sind jeweils identisch! Erweitere die Lösungen aus dem Buch mit [mm] \wurzel{2} [/mm] und du erhälst deine errechnete Lösung.

>  Wie kann das sein? Und wie rechnet man die beiden y-Werte
> der zwei Punkte aus?
>  matherein

>
Setze dazu einfach deine errechneten x-Werte in die (ursprüngliche) Funktion f ein.

Gruß Patrick


Bezug
                                
Bezug
Parallele Tangente und Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Fr 26.12.2008
Autor: matherein

Hallo Patrick,

wenn ich [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] mit [mm] \wurzel{2} [/mm] erweitere, heisst das dann, ich rechne:
[mm] \bruch{\wurzel{2}*\wurzel{2}}{2*\wurzel{2}} [/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]
Warum ist aber [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] gleich [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] oder habe ich beim Erweitern irgendetwas falsch gerechnet?

Wenn ich jetzt [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] in [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] -4 einsetze erhalte ich [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}-4. [/mm]
Aber weiter weiss ich nicht!
Laut Lösungsbuch kommt raus: [mm] y_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4}\wurzel{2} [/mm] und
[mm] y_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}\wurzel{2} [/mm]

Bitte um weitere Hilfe.
matherein

Bezug
                                        
Bezug
Parallele Tangente und Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Fr 26.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Hallo Patrick,
>  
> wenn ich [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] mit [mm]\wurzel{2}[/mm] erweitere,
> heisst das dann, ich rechne:
> [mm]\bruch{\wurzel{2}*\wurzel{2}}{2*\wurzel{2}}[/mm]
>  [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>  Warum ist aber [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] gleich
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] oder habe ich beim Erweitern
> irgendetwas falsch gerechnet?

Hallo,

Du hast völlig richtig gerechnet.

Die Erklärung für [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}=\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] könnten die potenzgesetze liefern, z.B. so:

[mm] \bruch{1}{2^{\bruch{1}{2}}}=2^{-\bruch{1}{2}}=2^{-1*\bruch{1}{2}}=(2^{-1})^\bruch{1}{2}=(\bruch{1}{2})^\bruch{1}{2}=\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm]

>  
> Wenn ich jetzt [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] in [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] -4
> einsetze

Du suchst doch Punkte auf dem Graphen der Funktion f(x)=f(x) = x³ -x .

Also mußt Du auch hier einsetzen.

Gruß v. Angela



erhalte ich [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}-4.[/mm]

>  Aber weiter weiss ich nicht!
>  Laut Lösungsbuch kommt raus: [mm]y_{1}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{4}\wurzel{2}[/mm] und
> [mm]y_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{2}[/mm]
>  
> Bitte um weitere Hilfe.
>  matherein


Bezug
                                                
Bezug
Parallele Tangente und Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 Fr 26.12.2008
Autor: matherein

Danke für die Hilfe bei Umformen, Angela!

Allerdings verstehe ich nicht, wie man auf [mm]y_{1}[/mm] =

> [mm]-\bruch{1}{4}\wurzel{2}[/mm] kommen kann, wenn man in f(x) = x³ - x  das [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] einsetzt, da doch kein negatives Ergebnis rauskommen dürfte.

Mit der Bitte um Hilfe
matherein

Bezug
                                                        
Bezug
Parallele Tangente und Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:37 Fr 26.12.2008
Autor: schachuzipus

Hallo matherein,

> Danke für die Hilfe bei Umformen, Angela!
>  
> Allerdings verstehe ich nicht, wie man auf [mm]y_{1}[/mm] =
>  > [mm]-\bruch{1}{4}\wurzel{2}[/mm] kommen kann, wenn man in f(x) =

> x³ - x  das [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] einsetzt, da doch kein
> negatives Ergebnis rauskommen dürfte.
>  
> Mit der Bitte um Hilfe

Na, du hast doch die beden x-Werte [mm] $x_1=\red{+}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ [/mm] und [mm] $x_2=\red{-}\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ [/mm] oben berechnet.

Wenn du die in [mm] $f(x)=x^3-x$ [/mm] einsetzt, bekommst du

1) [mm] $f(x_1)=f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{8}-\frac{4\sqrt{2}}{8}=\frac{-2\sqrt{2}}{8}=\red{-}\frac{1}{4}\sqrt{2}$ [/mm]

2) [mm] $f(x_2)=f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=......=\red{+}\frac{1}{4}\sqrt{2}$ [/mm]

Rechne 2) mal nach (genau wie 1))

>  matherein


LG

schachuzipus

Bezug
                                                                
Bezug
Parallele Tangente und Gerade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Mo 29.12.2008
Autor: matherein

Guten Abend schachuzipus,

vielen herzlichen Dank für die ausführliche Antwort.

LG
matherein

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