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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 02.01.2005 | | Autor: | hennes |
Hiya @all
Ich suche die Lösung für folgende Aufgabe:
Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung und hat ein Extremum bei x=2. Sie schliesst im 1. Quadranten mit der x-Achse eine Fläche von Inhalt A=27 ein. Bestimme die Gleichung dieser Parabel.
Vielen Dank an alle die mir helfen!
CYA
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: Weil ich eine Lösung asap haben sollte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 02.01.2005 | | Autor: | dominik |
Parabel 3. Grades:
[mm] y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
[mm] y'=f'(x)=3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
1. Die x-Achse im Nullpunkt berühren [mm] \Rightarrow [/mm] f(0)=0 und f'(0)=0:
f(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] d=0
f'(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
Vorläufige Gleichung der Parabel:
[mm] y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}
[/mm]
[mm] y'=f'(x)=3ax^{2}+2bx
[/mm]
2. Extremum für x=2 [mm] \Rightarrow [/mm] f'(2)=0
[mm] \gdw [/mm] 3a*4+2b*2=0 [mm] \gdw [/mm] 3a+b=0 [mm] \gdw [/mm] b=-3a; einsetzen in y:
[mm] y=f(x)=ax^{3}+(-3a)x^{2}=ax^{3}-3ax^{2}
[/mm]
3. Flächeninhalt
a) Nullstelle von y: y=0 [mm] \gdw ax^{2}*(x-3)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1,2}=0 [/mm] [das ist die Berührung im Nullpunkt]
[mm] x_{3}=3: [/mm] das ist die obere Integralsgrenze:
b) A=27 [mm] \gdw \integral_{0}^{3} {(ax^{3}-3ax^{2}) dx}=[\bruch{a}{4}x^{4}-ax^{3}]_{0}^{3}=\bruch{a}{4}*81-a*27=27
[/mm]
auf beiden Seiten durch 27 dividieren:
[mm] \bruch{a}{4}*3-a*1=1 \gdw -\bruch{1}{4}a=1 \gdw [/mm] a=-4 [mm] \Rightarrow [/mm] b=-3a=-3*(-4)=12
Lösung: Die Parabel hat die Gleichung [mm] y=-4x^{3}+12x^{2}
[/mm]
Einfachere Lösung
Berühren im Nullpunkt: doppelte Nullstelle: [mm] x^{2} [/mm] als Faktor im Ansatz [mm] \Rightarrow f(x)=ax^{2}*(x+b)
[/mm]
ist der Ansatz für die gesuchte Parabel; die andere Nullstelle liegt bei x=-b.
Also: [mm] f(x)=ax^{2}*(x+b) [/mm] = [mm] ax^{3}+abx^{2} \Rightarrow f'(x)=3ax^{2}+2abx
[/mm]
Extremum bei x=2
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(2)=0 [mm] \gdw12a+4ab=0 \gdw [/mm] 3+b=0 [mm] \gdw [/mm] b=-3 [mm] \Rightarrow f(x)=ax^{2}*(x-3) \Rightarrow [/mm] andere Nullstelle: x=3 und [mm] f(x)=ax^{3}-3ax^{2}
[/mm]
dann wie oben mit dem Integral weiterrechnen ...
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 So 02.01.2005 | | Autor: | hennes |
Vielen Dank!
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Hallo hennes,
> Eine Parabel 3. Ordnung
$f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx +d$
> berührt die x-Achse im Ursprung
bedeutet: [m]0 = a*0^3 + b*0^2 + c*0 +d = d \Rightarrow f(x) = ax^3 + bx^2 + cx[/m].
> und hat ein Extremum bei x = 2.
bedeutet: $f'(x) = [mm] 3ax^2 [/mm] + 2bx + c$ und $f'(2) = 0$. Also: $0 = 12a + 4b +c$
> Sie schliesst im 1. Quadranten mit der x-Achse eine Fläche von Inhalt A = 27 ein.
Jetzt setzen wir $c = [mm] 0\!$, [/mm] da [mm] $f(x)\!$ [/mm] die [mm] $x\texttt{-Achse}$ [/mm] berührt aber nicht schneidet. Dann kriegen wir: $f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] = [mm] x(ax^2+bx)$. [/mm] Für [mm] ax^2+bx [/mm] benutzen wir einfach die "p/q"-Formel und erhalten als eine mögliche Nullstelle [mm] $\tfrac{-b}{a}$. [/mm] Jetzt wissen wir, über welchem Intervall wir unsere Fläche bestimmen müssen. Wir integrieren:
[m]\int\limits_0^{ - \tfrac{b}
{a}} {\left( {ax^3 + bx^2 } \right)dx} = - \frac{{b^4 }}
{{12a^3 }}[/m]
Damit erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
$0 = 12a+4b$ und $27 = - [mm] \frac{{b^4 }}{{12a^3 }}$
[/mm]
Weil dieses System 2 Gleichungen und 2 Unbekannte hat, ist es lösbar mit $a = [mm] -4\!$ [/mm] und $b = [mm] 12\!$. [/mm] Damit erhalten wir $f(x) = [mm] 12x^2 [/mm] - [mm] 4x^3$.
[/mm]
Übrigens müßte sich das Ganze auf diese Weise auch allgemeiner lösen, lassen: [m]a = - \tfrac{{64A}}{{27E^4 }} \wedge b = \tfrac{{32A}}{{9E^3 }}[/m]. Wobei [mm] $A\!$ [/mm] die Fläche und [mm] $E\!$ [/mm] eine Extremstelle ist.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 So 02.01.2005 | | Autor: | hennes |
Entschuldigung, dass mit dem Lösungsansatz habe ich wohl übersehen. Werde mich in Zukunft daran halten.
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