Parabel und Kreis < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Kooridinaten der Schnittpunkte und die Schnittwinkel von der Parabel und dem Kreis.
y²= 2px, x² + y² = 3p² , p>0 |
Hallo an alle Forenmitglieder!
Ich setze beide Gleichungen gleich, um die Schnittpunkte zu erhalten.
x² +2px = 3p²
x² +2px -3p² = 0
-p [mm] \pm \wurzel{p² +3p²}
[/mm]
-p [mm] \pm \wurzel{4p²}
[/mm]
-p [mm] \pm [/mm] 2p
[mm] x_{1}=-3p [/mm]
[mm] x_{2}=p [/mm]
Im Lösungsbuch stehen als Schnittpunkte [mm] S_{1}= (p/p\wurzel{2}) [/mm]
und [mm] S_{2}= (p/-p\wurzel{2}).
[/mm]
Ich habe aber für [mm] x_{1}= [/mm] -3p raus. Wo liegt also der Fehler?
Mit freundlichem Gruß
matherein
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo matherein!
Die Parabel [mm] $y^2 [/mm] \ = \ 2p*x$ ist lediglich für $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ definiert. Von daher entfällt die scheinbare Lösung [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -3p$ , da gilt: [mm] $x_1 [/mm] \ < \ 0$ .
Die beiden $y_$-Werte der Schnittpunkte erhältst Du durch Einsetzen von [mm] $x_2 [/mm] \ = \ p$ in eine der beiden Funktionsvorschriften:
[mm] $$y^2 [/mm] \ = \ [mm] 2p*x_1 [/mm] \ = \ 2p*p \ = \ [mm] 2p^2$$
[/mm]
Nun nach $y \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Kooridinaten der Schnittpunkte und die Schnittwinkel von der Parabel und dem Kreis.
y²= 2px, x² + y² = 3p² , p>0 |
Hallo Loddar, danke für die Antwort!
Im Lösungsbuch steht: Im Schnittpunkt [mm] S_1(p/p\wurzel{2}) [/mm] hat die Tangente an den Kreis die
Gleichung y= [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}}x [/mm] + [mm] \bruch{8p}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Ich komme aber auf die Gleichung:
x*p [mm] +y*p\wurzel{2} [/mm] = 3p²
[mm] y*p\wurzel{2} [/mm] = 3p² -xp
y= [mm] \bruch{3p}{\wurzel{2}} [/mm] - [mm] \bruch{x}{\wurzel{2}}
[/mm]
y= [mm] \bruch{3}{\wurzel{2}}p [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}x [/mm]
Wo ist mein Rechenfehler?
Gruß, matherein
|
|
|
| |
|
> Wo ist mein Rechenfehler?
Deine Rechnung stimmt. Möglicherweise handelt es sich
um einen Druckfehler im Lösungsbuch: 8 statt 3
LG
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Kooridinaten der Schnittpunkte und die Schnittwinkel von der Parabel und dem Kreis.
y²= 2px, x² + y² = 3p² , p>0 |
Hallo Al-Chwarizmi und danke für die Richtigstellung.
Laut Lösungsbuch hat die Tangente im Schnittpunkt [mm] S_1 (p/\wurzel{2}) [/mm] an
die Parabel die Gleichung y= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}x +\bruch{p}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Wie komme ich aber dadrauf?
Gruß, matherein.
|
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte und die
> Schnittwinkel von der Parabel und dem Kreis.
>
> y²= 2px, x² + y² = 3p² , p>0
> Hallo Al-Chwarizmi und danke für die Richtigstellung.
>
> Laut Lösungsbuch hat die Tangente im Schnittpunkt
[mm]S_1 (p/\wurzel{2})[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
richtig: [mm]S_1 (p/p*\wurzel{2})[/mm]
> an die Parabel die Gleichung y= [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}x +\bruch{p}{\wurzel{2}}.[/mm]
>
> Wie komme ich aber dadrauf?
hallo matherein,
die Steigung m der Tangente in diesem Schnittpunkt
ist m=y'(p) [mm] =1/\wurzel{2}
[/mm]
Die Tangentengleichung kann man dann so aufstellen:
[mm] y-y_S=m(x-x_S)
[/mm]
(Punkt-Steigungs-Form)
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mi 20.08.2008 | | Autor: | matherein |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Kooridinaten der Schnittpunkte und die Schnittwinkel von der Parabel und dem Kreis.
y²= 2px, x² + y² = 3p² , p>0 |
Hallo,
> ist m=y'(p) [mm]=1/\wurzel{2}[/mm]
Das ist doch eine Ableitung, oder?
Diese Aufgabe müsste aber auch ohne Ableitung gelöst werden könnne.
Ich dachte ja eigentlich, dass man die Aufgabe mit dem Satz lösen kann:
Die Tangente an die Parabel y²=2px im Punkt [mm] B(x_B/y_B) [/mm] hat die Gleichung
[mm] y_B [/mm] *y= [mm] p(x+x_B). [/mm] Und tatsächlich, dann kommt man auch auf die im Lösungsbuch stehende Gleichung:
[mm] p\wurzel{2}*y= [/mm] px +p²
y= [mm] \bruch{px}{p\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{p²}{p\wurzel{2}}
[/mm]
y= [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}x +\bruch{p}{\wurzel{2}}.[/mm]
Dann hatte ich wohl gestern anstatt dem p eine 2 für den Satz genommen.
Trotzdem danke, Al-Chwarizmi!
Gruß
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Kooridinaten der Schnittpunkte und die Schnittwinkel von der Parabel und dem Kreis.
y²= 2px, x² + y² = 3p² , p>0 |
Hallo an alle Mitglieder des Matheforums,
ich Lösungsbuch steht als Schnittwinkel 70,53° der Tangente an den Kreis und der Tangente an die Parabel im Schnittpunkt [mm] S_1(p/p\wurzel{2})
[/mm]
Ich weiss allerdings nicht wie man zu diesem Ergebnis kommt.
Danke im Voraus.
matherein
|
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie die Kooridinaten der Schnittpunkte und die
> Schnittwinkel von der Parabel und dem Kreis.
>
> y²= 2px, x² + y² = 3p² , p>0
> Hallo an alle Mitglieder des Matheforums,
>
> ich Lösungsbuch steht als Schnittwinkel 70,53° der Tangente
> an den Kreis und der Tangente an die Parabel im
> Schnittpunkt [mm]S_1(p/p\wurzel{2})[/mm]
>
> Ich weiss allerdings nicht wie man zu diesem Ergebnis
> kommt.
Hallo,
da der Schnittwinkel der beiden Kurven der Schnittwinkel der Tangenten im Schnittpunkt ist, sind zunächst die Steigungen der Tangenten an beide Kurven im Schnittpunkt [mm] S_1(p/p\wurzel{2}) [/mm] zu berechnen.
Der Kreis ist ein Kreis um den Koordinatenursprung, und mit dem Wissen, daß die Tangente an den Kreis senkrecht auf dem Radius stehen, kommst Du recht bequem an die Steigung der Kreistangente im Punkt [mm] S_1(p/p\wurzel{2}): [/mm] die Steigung der Geraden durch den Nullpunkt und den Schnittpunkt berechnen, dann die Steigung der dazu senkrechten Geraden angeben.
Nun zur Tangente an die Parabel.
Die Tangente ist eine Gerade, hat also die Gestalt y=mx+b,
Da Du einen Punkt der Tangente kennst, nämlich den Punkt [mm] S_1(p/p\wurzel{2}), [/mm] kannst Du sie so umformen, daß das b herausfällt und nur noch Dein m als Unbekannte bleibt. (Oder Du nimmst gleich die Punkt-Steigungsform, falls Du die parat hast.)
Um nun an die Steigung zu kommen, kannst Du eine weitere Eigenschaft der Tangente an die Parabel nutzen: sie haben nur einen gemeinsamen Punkt.
Du mußt nun also ausrechnen, für welches m die Parabel und und die Gerade durch den Punkt [mm] S_1(p/p\wurzel{2}) [/mm] nur einen Schnittpunkt haben.
Wenn Du dann am Ende beide Tangentensteigungn hast, steht der Bestimmung des Schnittwinkels nichts mehr im Wege - ich denke, daß das Problem nicht an dieser Stelle liegt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Kooridinaten der Schnittpunkte und die
Schnittwinkel von der Parabel und dem Kreis.
y²= 2px, x² + y² = 3p² , p>0 |
Hallo Angela,
ich habe schon, wie du in diesem Diskussionsstrang sehen kannst, die
Gleichunung der Tangente an den Kreis: [mm] y=-\bruch{1}{\wurzel{2}}x [/mm] + [mm] \bruch{8p}{\wurzel{2}} [/mm] sowie die Gleichung der Tangente an die Parabel:
y= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}x [/mm] + [mm] \bruch{p}{\wurzel{2}} [/mm]
im Schnittpunkt [mm] S_1(p/p\wurzel{2}).
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht wie man den Schnittwinkel berechnet, da ja das p in beiden Gleichungen vorkommt.
Um Hife wäre ich dankbar.
matherein
|
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie die Kooridinaten der Schnittpunkte und die
> Schnittwinkel von der Parabel und dem Kreis.
>
> y²= 2px, x² + y² = 3p² , p>0
> Hallo Angela,
>
> ich habe schon, wie du in diesem Diskussionsstrang sehen
> kannst, die
>
> Gleichunung der Tangente an den Kreis:
> [mm]y=-\bruch{1}{\wurzel{2}}x[/mm] + [mm]\bruch{8p}{\wurzel{2}}[/mm] sowie
> die Gleichung der Tangente an die Parabel:
>
> y= [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}x[/mm] + [mm]\bruch{p}{\wurzel{2}}[/mm]
> im Schnittpunkt [mm]S_1(p/p\wurzel{2}).[/mm]
> Allerdings weiß ich nicht wie man den Schnittwinkel
> berechnet, da ja das p in beiden Gleichungen vorkommt.
>
> Um Hife wäre ich dankbar.
> matherein
Hallo,
für den Schnittwinkel interessieren doch einzig die Steigungen der beiden Geraden, und sind ist in beiden Fällen frei von irgendwelchen p.
Wenn [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] die beiden Steigungen sind, ist der Tangens des Schnittwinkels= [mm] |\bruch {m_2-m_1}{1+m_1m_2}|.
[/mm]
Du kannst natürlich auch zuerst die beiden Neigungswinkel zur x-Achse ausrechnen, die Differenz liefert den Schnittwinkel.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Fr 22.08.2008 | | Autor: | matherein |
Danke für die Hilfe, Angela!
Matherein
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Kooridinaten der Schnittpunkte und die Schnittwinkel von der Parabel und dem Kreis.
y²= 2px, x² + y² = 3p² , p>0 |
Hallo an alle Mitglieder des Matheforums,
im Schnittpunkt [mm] S_2(p/-p\wurzel{2} [/mm] hat laut dem Lösungsbuch die Tangente
an die Parabel die Gleichung
y= [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}}x +\bruch{p}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Allerdings habe ich das raus:
[mm] -p\wurzel{2}y [/mm] = p(x +p)
[mm] -p\wurzel{2}y [/mm] = px +p²
y= [mm] \bruch{px}{-p\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{p²}{-p\wurzel{2}}
[/mm]
y= [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}}x [/mm] - [mm] \bruch{p}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Ist das Minus richtig oder nicht?
Danke im Voraus.
matherein
|
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie die Kooridinaten der Schnittpunkte und die
> Schnittwinkel von der Parabel und dem Kreis.
>
> y²= 2px, x² + y² = 3p² , p>0
> Allerdings habe ich das raus:
> y= [mm]-\bruch{1}{\wurzel{2}}x[/mm] - [mm]\bruch{p}{\wurzel{2}}.[/mm]
>
> Ist das Minus richtig oder nicht?
Hallo,
Deine Lösung paßt jedenfalls zu meiner Zeichnung, und die des Buches paßt nicht zu meiner Zeichnung.
Deine Lösung sollte also die richtige sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
