Parabel bestimmen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Der Ursprung des KOS ist scheitelpunkt. die tangente im parabelpunkt mit der 1. koordinate 5 hat die steigung 2. bestimme die gleichung der parabel. |
Hallo,
ich habe noch so eine aufgabe ohne punkte.
Also ich habe den Punkt (0,0), dann habe ich zwei punkte (5,?) und (-5,?) (sofern ich den text richtig interpretiert habe!) daher weiß ich ja auch, dass die gleichung der parabel so aussehen muss: y=ax+c, weil bx ja wegfällt, da die parabel den scheitelpunkt bei (0,0) hat. sie ist also achsensymmetrisch..
Aber ich weiß nicht, wie ich jetzt aus den infos die gleichung aufstellen soll!
könnt ihr mir bitte helfen?
viele grüße
informacao
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Hallo Informacao!
Vorsicht, dir ist ein Fehler unterlaufen!:
Du hast folgende Infos gegeben:
$f(0)=0$
$f'(5)=2$
$f'(-5)=2$
die allgemeinde Funkionsgleichungen für Parabeln 2. Ordung lautet:
$f(x)=ax²+bx+c$
setzt du jetzt die einzelnen Sachen ein, erhälst du
1.) $0=0+0+c$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $c=0$
$f(x)=ax²+bx$
$f(x)=2ax+b$
2.)
$2=10a+b$
$2=-10a+b$
Additionsverfahren:
$4=2b$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $b=2$
usw.
Ciao miniscout ![[snoopysleep]](/images/smileys/snoopysleep.gif "[snoopysleep]")
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Hi!
danke für die Antwort!
Kannst du mir das nochmal genauer erklären? Ich habs nicht verstanden..Am besten nochmal jeden Schritt
viele grüße
informacao
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Hallo Informacao!
Ein Frage zunächst, hast du schon Differentialrechnung, d.h. Ableitungen durchgenommen? (Fällt mir gerade auf, ich hatte es einfach vorausgesetzt.)
Der Ursprung des KOS ist scheitelpunkt.
Daher weißt du, dass die Parabel durch den Punkt P(0/0) gehen muss, bzw. dass gilt:
1.) $f(0) = 0$
Zusätzlich ist die Steigung der Parabel im Scheitelpunkt Null. (Würdest du eine Tangente auf diesen Punkt zeichnen, wäre sie parallel zur x-Achse)
2.) $f'(0)=0$
Die Steigung einer Funktion lässt sich durch ihre Ableitung darstellen.
Die Ableitung von
$f(x)=ax²+bx+c$
nennt man f'(x) und ist
$f'(x)=2ax+b$
Die zweite Ableitung wäre dann (ist aber für diese Aufgabe nicht wichtig):
$f''(x)=2a$
Die Tangente im Parabelpunkt mit der 1. Koordinate 5 hat die Steigung 2.
Aus deiner Augabenstellung geht hervor, dass die Steigung der Parabel bei x=5 gleich 2 ist, in Formeln ausgedrückt heißt das:
3.) $f'(5)= 2$
Jetzt musst du die einzelnen Werte einsetzten und ausrechnen:
$f(x)=ax²+bx+c$
$f'(x)=2ax+b$
1.) $f(0) = 0$
2.) $f'(0)= 0$
3.) $f'(5)= 2$
1.) $0=a*0²+b*0+c$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $c=0$
2.) $0=2*a*0+b$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $b=0$
3.) $2=10*a$ [mm] $\Rightarrow$ $a=\bruch{1}{5}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f(x)=ax²+bx+c$
[mm] $\Rightarrow$ $a=\bruch{1}{5}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $b=0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $c=0$
[mm] $f(x)=\bruch{1}{5}*x²$
[/mm]
So würde ich es zumindest lösen.
Ciao miniscout
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Informacao |
hi,
ich habs mir mal so einfach aufgeschrieben...
danke!
wir hatten aber bis jetzt noch keine differentialrechnung und ableitungen und so..
viele grüße
informacao
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Hi, nochmal..
ich glaube wir haben einen Fehler...wenn die gleichung y=1/5x² heißen würde, dann hätte sie den punkt (5,2) nicht...der würde nicht auf der parabel liegen (laut meiner skizze)!
die steigung einer tangente ist ja nur 2 in dem parabelpunkt..ah jetzt bin ich total verwirrt,,,
oder irr ich mich?
informacao
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> Hi, nochmal..
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> ich glaube wir haben einen Fehler...wenn die gleichung
> y=1/5x² heißen würde, dann hätte sie den punkt (5,2)
> nicht...der würde nicht auf der parabel liegen (laut meiner
> skizze)!
Warum muß denn die $y$-Koordinate 2 sein ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ? Die Gleichung der Tangente ist dort $y=2x-5$ (s.u.).
Die allgemeine Form der Parabel ist: [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$.
[/mm]
Durch eine kleine Umformung sieht man, daß der Scheitelpunkt $S$ der Parabel die Koordinaten $S(-b/2a, [mm] c-\bruch{b^2}{4a})$ [/mm] hat.
Da der Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt, ergibt sich $b/2a=0$, d.h. $b=0$ und außerdem $c=0$.
Damit die Gerade $y=2x+d$ Tangente an die Parabel ist, muß die quadratische Gleichung [mm] $ax^2 [/mm] -2x -d=0$ genau eine Lösung (u.z. [mm] $x_{1,2}=5$) [/mm] haben. Wenn Du jetzt noch die "Mitternachts-Formel" bzw. pq-Formel benutzt, kannst Du die Werte für $a$ und $d$ bestimmen.
Mfg
zahlenspieler
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Hallo zahlenspieler,
ich verstehe nicht genau, was du meinst!
Also ist die Gleichung [mm] y=\bruch{1}{5}x^{2} [/mm] falsch?
Wie ist sie sonst?
Viele Grüße
Informacao
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Hallo informacao,
> Hallo zahlenspieler,
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> ich verstehe nicht genau, was du meinst!
> Also ist die Gleichung [mm]y=\bruch{1}{5}x^{2}[/mm] falsch?
Nein, die ist richtig  .
Was ist Dir nicht klar an meiner Antwort?
Mfg
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 So 19.11.2006 | | Autor: | Informacao |
H i,
danke, ist schon okay, ich glaube ich hatte nen knoten im gehirn 
viele grüße
informacao
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