Parabel (Brennpunkt etc) < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Alle Punkte P einer Parabel haben den gleichen Abstand vom Brennpunkt F [mm] (f_{x}/f_{y}) [/mm] und der Leitgeraden g: f(x)=g
Bestimme zu der Parabel [mm] p(x)=a*x^{2}+b*x+c [/mm] den Brennpunkt und die Leitgerade |
[Dateianhang nicht öffentlich]
In obiger Skizze habe ich eine Parabel eingezeichnet. Aber der Brennpunkt und die Leitgerade sind nur (falsch) geschätzt.
Der umgekehrte Weg ist relativ einfach: Wenn Brennpunkt und Leitgerade bekannt sind, dann lässt sich die Parabel leicht bestimmen:
P(x/y) , [mm] A(x/f_{y}) [/mm] , [mm] F(f_{x}/f_{y}) [/mm] , Q(x/g)
[mm] \overline{AP} [/mm] = y - [mm] f_{y}
[/mm]
[mm] \overline{FA} [/mm] = x - [mm] f_{x}
[/mm]
[mm] \overline{FP} [/mm] = [mm] \overline{PQ} [/mm] (das ist die Definition der Parabel)
[mm] \overline{PQ} [/mm] = y - g
Dann der Pythagoras hinsichtlich [mm] \overline{FA} [/mm] , [mm] \overline{AP} [/mm] und [mm] \overline{FP}
[/mm]
Letztendlich habe ich dann raus:
y = [mm] \bruch{1}{2*(f_{y}-g)}*x^{2}+\bruch{f_{x}}{g-f_{y}}*x+\bruch{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}-g^{2}}{2*(f_{y}-g)}
[/mm]
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ------ - - - - - - - -
Und jetzt das Ganze umgekehrt:
Aus [mm] p(x)=a*x^{2}+b*x+c [/mm] ergäbe sich dann
a= [mm] \bruch{1}{2*(f_{y}-g)}
[/mm]
b= [mm] \bruch{f_{x}}{g-f_{y}}
[/mm]
c= [mm] \bruch{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}-g^{2}}{2*(f_{y}-g)}
[/mm]
Das sind 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten [mm] f_{x} [/mm] , [mm] f_{y} [/mm] und g
Für [mm] f_{x} [/mm] konnte ich das ja noch auflösen: [mm] f_{x}=\bruch{-b}{2a}
[/mm]
Das ist derselbe Wert wie für den Scheitelpunkt S.
Aber für [mm] f_{y} [/mm] nd g wird das Ganze dann ziemlich unübersichtlich, obwohl ich weiß, dass das theoretisch lösbar ist und auf eine quadratische Gleichung rausläuft, die mit der p-q-Formel zu lösen ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 So 05.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Alle Punkte P einer Parabel haben den gleichen Abstand vom
> Brennpunkt F [mm](f_{x}/f_{y})[/mm] und der Leitgeraden g: f(x)=g
>
> Bestimme zu der Parabel [mm]p(x)=a*x^{2}+b*x+c[/mm] den Brennpunkt
> und die Leitgerade
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> In obiger Skizze habe ich eine Parabel eingezeichnet. Aber
> der Brennpunkt und die Leitgerade sind nur (falsch)
> geschätzt.
>
> Der umgekehrte Weg ist relativ einfach: Wenn Brennpunkt und
> Leitgerade bekannt sind, dann lässt sich die Parabel leicht
> bestimmen:
>
> P(x/y) , [mm]A(f_{x}/y)[/mm] , [mm]F(f_{x}/f_{y}[/mm] , Q(x/g)
>
> [mm]\overline{FA}[/mm] = y - [mm]f_{y}[/mm]
>
> [mm]\overline{AP}[/mm] = x - [mm]f_{x}[/mm]
>
> [mm]\overline{FP}[/mm] = [mm]\overline{PQ}[/mm] (das ist die Definition der
> Parabel)
>
> [mm]\overline{PQ}[/mm] = y - g
>
> Dann der Pythagoras hinsichtlich [mm]\overline{FA}[/mm] ,
> [mm]\overline{AP}[/mm] und [mm]\overline{FP}[/mm]
>
>
> Letztendlich habe ich dann raus:
>
> y =
> [mm]\bruch{1}{2*(f_{y}-g)}*x^{2}+\bruch{f_{x}}{g-f_{y}}*x+\bruch{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}-g^{2}}{2*(f_{y}-g)}[/mm]
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ------
> - - - - - - - -
> Und jetzt das Ganze umgekehrt:
> Aus [mm]p(x)=a*x^{2}+b*x+c[/mm] ergäbe sich dann
>
> a= [mm]\bruch{1}{2*(f_{y}-g)}[/mm]
>
> b= [mm]\bruch{f_{x}}{g-f_{y}}[/mm]
>
> c= [mm]\bruch{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}-g^{2}}{2*(f_{y}-g)}[/mm]
>
> Das sind 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten [mm]f_{x}[/mm] , [mm]f_{y}[/mm]
> und g
>
> Für [mm]f_{x}[/mm] konnte ich das ja noch auflösen:
> [mm]f_{x}=\bruch{-b}{2a}[/mm]
> Das ist derselbe Wert wie für den Scheitelpunkt S.
>
> Aber für [mm]f_{y}[/mm] nd g wird das Ganze dann ziemlich
> unübersichtlich, obwohl ich weiß, dass das theoretisch
> lösbar ist und auf eine quadratische Gleichung rausläuft,
> die mit der p-q-Formel zu lösen ist.
>
Hallo,
machst du dir es nicht ein wenig zu komliziert?
Ich gehe mal davon aus, dass ihr für eine Normalparabel in Normallage eine Gleichung habt und dort auch Brennpunkt und Leitlinie kennt?
Dann musst du diese Daten von der Normalparabel nur auf eine mit dem Faktor a gestreckte Parabel übertragen und anschließend noch die Verschiebung des Scheitelpunkts berücksichtigen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 So 05.10.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> machst du dir es nicht ein wenig zu komliziert?
Es ist richtig, dass da eine recht komplizierte Formel rauskommen wird.
> Ich gehe mal davon aus, dass ihr für eine Normalparabel in
> Normallage eine Gleichung habt und dort auch Brennpunkt und
> Leitlinie kennt?
Nein, genau das ist ja nicht der Fall.
Der Brennpunkt und die Leitlinie sollen ja erst aufgrund der Parabelgleichung errechnet werden, und zwar mit Hilfe von allgemeingültigen Formeln, damit man das nicht jedes Mal (also für jede Parabelgleichung) neu machen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 So 05.10.2008 | | Autor: | abakus |
Kleiner Tipp:
Eine Parallele zur Leitgeraden durch den Brennpunkt schneidet die Parabel in 2 Punkten, deren Abstand zur Leitgeraden (und damit auch zu F) doppelt so groß sein muss wie der Abstand des Scheitelpunkts zur Leitgeraden.
Damit kannst du einen dieser beiden Schnittpunkte finden, obwohl du F und die Leitgerade noch gar nicht hast. Lege durch den Scheitelpunkt der Parabel eine Gerade mit dem Anstieg 0,5 . Finde deren Schnittpunkt mit der Parabel.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Mo 06.10.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, abakus, der Tipp war sehr hilfreich.
Also kann man für eine gegebene Parabel den Brennpunkt recht leicht finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Di 07.10.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Dabei fällt mir ein / auf:
Alle Parabeln der Form f(x) = [mm] a*x^{2} [/mm] sehen völlig identisch aus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man muss nur jeweils einen anderen Maßstab wählen.
Daraus ergibt sich dann, dass auch - angepasst an den jeweiligen Maßstab - der Brennpunkt und die Leitlinie immer an derselben Stelle sind.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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