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PFZ in Ringen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Di 21.06.2011
Autor: Der-Madde-Freund

Hallo,

ich bin mir bei einer Sache irgendwie unsicher. Wenn ich den Ring [mm] \IZ_p^{\times} [/mm] mit p Primzahl nehme, dann ist dies ja ein Körper. Nun ist meine Frage: Existiert dort eine eindeutige Primfaktorzerlegung?

Ich glaube die gibt es da nicht, aber ich kann dies nicht wirklich begründen.

        
Bezug
PFZ in Ringen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Di 21.06.2011
Autor: felixf

Moin!

> ich bin mir bei einer Sache irgendwie unsicher. Wenn ich
> den Ring [mm]\IZ_p^{\times}[/mm] mit p Primzahl nehme, dann ist dies
> ja ein Körper. Nun ist meine Frage: Existiert dort eine
> eindeutige Primfaktorzerlegung?

Ja, die gibt es, die ist aber sehr langweilig. Du kannst jedes Element eindeutig in der Form $u [mm] \cdot \prod_{i=1}^n p_i^{e_i}$ [/mm] schreiben mit $u$ einer Einheit und [mm] $p_1, \dots, p_n$ [/mm] Primelementen. Da es in einem Koerper keine Primelemente gibt, ist $n = 0$, womit $u$ uebrig bleibt.

Die Primfaktorzerlegung eines Elementes ist also das Element selber.

LG Felix


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