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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Di 29.12.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung [mm]u = u(x,y)[/mm] der partiellen Differntialgleichung
[mm]u_{xx} - u_{xy} - 2u_{yy} + u_x+u_y = 0[/mm] |
Hallo,
zu dieser Aufgabe habe ich aus einer Musterlösung das Ergebnis, es lautet:
[mm]u(x,y) = G(2x + y) e^{(y-x)/3} + H(x - y)[/mm].
Die Aufgaben dieser Art sind mir gänzlich unbekannt. Habe mich in Wikipedia eingelesen, dennoch hat es nicht den gewünschten Erfolg gebracht. Ich habe nicht mal einen Ansatz wie ich hier rangehen könnte. Durch Wiki weiss ich nun das es 3 Arten gibt elliptisch, parabolisch, hyperbolisch.
Wie kann ich erkennen, welche Art zu welcher Gleichung gehört? Mir ist klar das es um größer, kleiner, gleich 0 geht. Aber wie baue ich die Gleichung um, so das ich es auch sichtbar mache? Oder handelt es sich hier um eine parabolische Gleichung, da die Gleichung = 0 ist?
Für jegliche Hilfe bin ich dankbar, auch von mir aus in Form von externen Links, Onkel google habe ich schon befragt.
Schönen Gruß,
Lyrone.
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Hallo Lyrone,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung [mm]u = u(x,y)[/mm] der
> partiellen Differntialgleichung
>
> [mm]u_{xx} - u_{xy} - 2u_{yy} + u_x+u_y = 0[/mm]
> Hallo,
>
> zu dieser Aufgabe habe ich aus einer Musterlösung das
> Ergebnis, es lautet:
>
> [mm]u(x,y) = G(2x + y) e^{(y-x)/3} + H(x - y)[/mm].
>
> Die Aufgaben dieser Art sind mir gänzlich unbekannt. Habe
> mich in Wikipedia eingelesen, dennoch hat es nicht den
> gewünschten Erfolg gebracht. Ich habe nicht mal einen
> Ansatz wie ich hier rangehen könnte. Durch Wiki weiss ich
> nun das es 3 Arten gibt elliptisch, parabolisch,
> hyperbolisch.
> Wie kann ich erkennen, welche Art zu welcher Gleichung
> gehört? Mir ist klar das es um größer, kleiner, gleich 0
> geht. Aber wie baue ich die Gleichung um, so das ich es
> auch sichtbar mache? Oder handelt es sich hier um eine
> parabolische Gleichung, da die Gleichung = 0 ist?
Wie Du den Typ der partiellen DGL bestimmst,
steht in diesem ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel.
Allerdings ist mir nicht klar, wie Du die DGL umbauen musst,
damit der Type der partiellen DGL ersichtlich wird.
Durch Anwendung von linearen Transformationen auf
die Variablen x und y, kommst Du dann auf die Lösung.
>
> Für jegliche Hilfe bin ich dankbar, auch von mir aus in
> Form von externen Links, Onkel google habe ich schon
> befragt.
>
> Schönen Gruß,
> Lyrone.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Di 29.12.2009 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
um den Typ zubestimmen betrachtest du die 2x2-Matrix, die sich aus den Koeffizienten der zweiten Ableitungen der gesuchten Funktion bilden läßt.
In diesem Fall bekommst du die Matrix: [mm] \pmat{ 1 & -0,5 \\ -0,5& -2 }. [/mm] Von dieser Matrix bestimmst du die Eigenwerte. Haben alle Eigenwerte das gleiche Vorzeichen, so heißt die Differentialgleichung elliptisch. Haben n-1 EW das gleiche Vorzeichen und der n-te EW das andere Vorzeichen, heißt die DGL hyperbolisch. Haben n-1 EW das gleiche Vorzeichen und der n-te EW ist 0, so heißt die DGL parabolisch.
Falls die Koeffizienten nicht konstant sind, kann sich der Typ auch ändern und nicht jede partielle DGL zweiter Ordnung läßt sich einem dieser drei Grundtypen zuordnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Di 29.12.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Lyrone,
noch ein Hinweis, der bei der Bestimmung der Koordinatentransformation, die Mathepower angedeutet hat, hilfreich ist:
Mit dem Verfahren, das zahllos beschrieb, kommt heraus, dass die PDE von hyperbolischem Typ ist, das bedeutet, sie läßt sich durch lineare Koordinatentransformation x = [mm] \alpha*r [/mm] + [mm] \beta*s [/mm] und y = [mm] \gamma*r [/mm] + [mm] \delta*s [/mm] auf die Form einer Wellengleichung, also [mm] u_{rs}(r,s) [/mm] = "Ableitungen geringerer Ordnung" bringen und dies ermöglicht dann die getrennte Integration nach r bzw. s.
Gruß
Uli
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