P1' wenn man P1 an E spiegelt < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mi 07.05.2008 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | Gegeben ist die Ebene E mit E: [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}* \vec r-6=0 [/mm], ferner eine Gerade g udrch die beiden Punkte [mm] P_1(2|1|0) [/mm] und [mm] P_2(9|5|4).
[/mm]
a) welchen Punkt [mm] P_1' [/mm] erhält man, wenn man [mm] P_1 [/mm] an E spiegelt?
b) Welche Punkte auf g haben von E den Abstand e=2 LE? |
zu a)
also ich kann ja erst den Abstand von E zu [mm] P_1 [/mm] berechnen, der wäre ja -4/3 LE. d.h. ja, wenn ich diesen an E spiegel, muss der ja genauso weit entfernt sein, nur in die andere Richtung, d.h. [mm] P_1' [/mm] muss 4/3 LE lang sein.
Aber Längen werden doch eh immer in BEträge gerechnet und wenn ich die hessische Normalform habe: [mm] 1/3 \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}* \vec r-2=4/3
[/mm]
habe ich eine Gleichung aber drei Unbekannte [mm] (x_r, y_r, z_r)??
[/mm]
zu b)
Hier ist doch genau das gleiche Spiel, nur anstatt 4/3 nun 2, aber wieder mehr Unbekannte als Gleichungen....
Danke für euer Bemühen und Rat schon einmal im Voraus
MfG
Nordi
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Hallo n0rdi ,
> Gegeben ist die Ebene E mit E: [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}* \vec r-6=0 [/mm],
> ferner eine Gerade g udrch die beiden Punkte [mm]P_1(2|1|0)[/mm] und
> [mm]P_2(9|5|4).[/mm]
> a) welchen Punkt [mm]P_1'[/mm] erhält man, wenn man [mm]P_1[/mm] an E
> spiegelt?
> b) Welche Punkte auf g haben von E den Abstand e=2 LE?
> zu a)
> also ich kann ja erst den Abstand von E zu [mm]P_1[/mm] berechnen,
> der wäre ja -4/3 LE. d.h. ja, wenn ich diesen an E spiegel,
> muss der ja genauso weit entfernt sein, nur in die andere
> Richtung, d.h. [mm]P_1'[/mm] muss 4/3 LE lang sein.
> Aber Längen werden doch eh immer in BEträge gerechnet und
> wenn ich die hessische Normalform habe: [mm]1/3 \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}* \vec r-2=4/3
[/mm]
>
> habe ich eine Gleichung aber drei Unbekannte [mm](x_r, y_r, z_r)??[/mm]
Das ist viel einfacher als Du denkst:
Bilde hier die Gerade [mm]h:\overrightarrow{r}=\overrrightarrow{OP_{1}}+t*\overrightarrow{n}[/mm]
,wobei n der Normalenvektor der Ebene E ist.
Setze die Gerade h in die Ebenengleichung E ein. und löse dann nach t auf.
>
> zu b)
> Hier ist doch genau das gleiche Spiel, nur anstatt 4/3 nun
> 2, aber wieder mehr Unbekannte als Gleichungen....
>
Hier das gleiche Spiel:
Bilde die Gerade [mm]g:\overrightarrow{r}=\overrightarrow{OP_{1}}+s*\overrightarrow{P_{1}P_{2}}[/mm]
Von dieser Geraden soll nun der Abstand zu E berechnet werden.
Das ist dasselbe wie der Abstand eines Punktes P zur Ebene E, nur daß der Punkt P jetzt auf der Geraden g liegt.
Setze demnach die Gleichung
[mm]\overrightarrow{r}=\overrightarrow{OP_{1}}+s*\overrightarrow{P_{1}P_{2}}+t*\overrightarrow{n}[/mm]
in die Ebene E ein, und löse nach t auf.
Dann ist [mm]\vmat{t*\overrightarrow{n}}[/mm] der Abstand eines Punktes der Geraden g zur Ebene E.
>
> Danke für euer Bemühen und Rat schon einmal im Voraus
>
> MfG
> Nordi
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Mi 07.05.2008 | | Autor: | n0rdi |
HeY
Cool
danke für die schnelle Antwort (=
stimmt so kann man es eig. auch machen, ich probier es gleich mal aus, bei Fragen melde ich mich wieder ;)
Danke
Gruß
Nordi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mi 07.05.2008 | | Autor: | n0rdi |
hehe
dein [mm] OP_1, [/mm] soll das O der Ursprung sein oder wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo n0rdi!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mi 07.05.2008 | | Autor: | n0rdi |
Ich soll ja die Gerade h in die Ebene E einsetzen. Diese muss aber doch in die hessische Normalform sein oder? Weil diese berechnet ja Abstände oder liege ich da falsch?
h: [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
ist die richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Do 08.05.2008 | | Autor: | aram |
"Ich soll ja die Gerade h in die Ebene E einsetzen. Diese muss aber doch in die hessische Normalform sein oder? Weil diese berechnet ja Abstände oder liege ich da falsch?"
Kann, muss aber nicht. Du kannst deine Geradengleichung in die Ebenengleichung der Normalform einsetzen, muss nicht die hessische sein. Daraus kannst du deinen Geradenparameter bestimmen. Diesen wieder in die Geradengleichung eingesetzt, bekommst du den Schnittpunkt mit der Ebene. Wenn du die hast, kommst du auch leicht auf P´.
"h: $ [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \cdot{} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
ist die richtig? "
Ja, die ist richtig. Stützvektor + t*(Richtungsvektor), wobei der Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene ist.
Mfg Aram
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Do 08.05.2008 | | Autor: | n0rdi |
So nun habe ich den Schnittpunkt raus. Habe nun ja [mm] P_1 [/mm] und S, d.h. ich könnte die länge davon berechnen, aber wie komme ich dann auf [mm] P_1'?
[/mm]
einfach die länge verdoppeln? oder den betrag von nehmen?
oder einfach die Punkte addieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Do 08.05.2008 | | Autor: | aram |
> So nun habe ich den Schnittpunkt raus. Habe nun ja [mm]P_1[/mm] und
> S, d.h. ich könnte die länge davon berechnen, aber wie
> komme ich dann auf [mm]P_1'?[/mm]
> einfach die länge verdoppeln? oder den betrag von
> nehmen?
> oder einfach die Punkte addieren?
Du denkst in die richtige Richtung! es gibt mehrere Möglichkeiten, ich nenne mal eine.
Da du jetzt die Punkte P1 und S hast, bestimmst du den Vektor [mm] \overrightarrow{P1S} [/mm] . Dein [mm] P_1' [/mm] wäre dann, na?
[mm] \overrightarrow{OP_1'} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP1} [/mm] + [mm] 2*\overrightarrow{P1S}.
[/mm]
Und wenn du das Ergebnis hast, kannt auch gucken, wie du anders drauf gekommen wärest.
Mfg Aram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Do 08.05.2008 | | Autor: | n0rdi |
Ja ich habe es schon raus ;)
habe einfach das aufgelöste t verdoppelt und dann wieder in die Geradengleichung eingesetzt und dann kam ein punkt raus :)
Danke schön an euch alle, habt mir sehr geholfen (=
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