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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Di 25.09.2007 | | Autor: | krueemel |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ortskurve der Extrempunkte!
Ausgangsfunktion:
f(x) = x² + t*x + t |
Da ich 3 Wochen nicht in der Schule war, muss ich das jetzt nachholen:
Zur Lösung der Aufgabe wurde von meinem Mitschüler folgendes notiert:
pq- Formel:
[mm] -\bruch{t}{2} \pm \wurzel{\bruch{t}{2}²-t}
[/mm]
das versteh ich ja noch.
Dann kommt folgendes:
Betrachtung der Diskriminanten:
D = t(t-4) = t² - 4t wie kommt er dadrauf?
für 0 < t < 4 gibt es keine Nullstellen
für t < 0 v t > 4 gibt es 2 Nullstellen
für t = 0 v t = 4 gibt es eine Nullstelle
Ortskurve:
Extremstelle:
x = [mm] -\bruch{t}{2} [/mm] Wie kommt er dadrauf?
Funktionswert:
y = [mm] -\bruch{t²}{4}+t [/mm] Wie kommt er dadrauf?
Tiefpunkt:
TP [mm] (-\bruch{t}{2} [/mm] | [mm] -\bruch{t²}{4}+t)
[/mm]
Löse eine Komponente nach t auf:
hier: Xe
Xe = [mm] -\bruch{t}{2}
[/mm]
t = -2*Xe
Einsetzen in Ye
Ye = -Xe² + 2Xe
ist die Ortskurve der Tiefpunkte der Schar.
Das versteh ich wieder.
Also kann mir emand helfen, wie er auf diese Zahlen gekommen ist?
X und Y...
Viele liebe Grüße
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Hallo krueemel!
> pq- Formel: [mm]-\bruch{t}{2} \pm \wurzel{\bruch{t}{2}²-t}[/mm]
> das versteh ich ja noch.
Formen wir die Formel mal um:
[mm] $$x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{t}{2} \pm \wurzel{\left(\bruch{t}{2}\right)^2-t} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{t}{2} \pm \wurzel{\bruch{t^2}{4}-t} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{t}{2} \pm \wurzel{\bruch{t^2}{4}^2-\bruch{4*t}{4}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{t}{2} \pm \wurzel{\bruch{t^2-4*t}{4}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{t}{2} \pm \bruch{\wurzel{t^2-4*t}}{2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{t \pm \wurzel{t^2-4*t}}{2}$$
[/mm]
> Dann kommt folgendes:
> Betrachtung der Diskriminanten:
> D = t(t-4) = t² - 4t wie kommt er dadrauf?
> für 0 < t < 4 gibt es keine Nullstellen
> für t < 0 v t > 4 gibt es 2 Nullstellen
> für t = 0 v t = 4 gibt es eine Nullstelle
Und nun wird hier nur der Ausdruck unter der Wurzel [mm] $t^2-4*t [/mm] \ = \ t*(t-4)$ betrachtet.
> Ortskurve:
> Extremstelle:
> x = [mm]-\bruch{t}{2}[/mm] Wie kommt er dadrauf?
Bestimme die Nullstelle der 1. Ableitung [mm] $f_t'(x) [/mm] \ = \ 0$ .
Dann solltest Du diesen Wert erhalten.
> Funktionswert:
> y = [mm]-\bruch{t²}{4}+t[/mm] Wie kommt er dadrauf?
Setze den Wert [mm] $x_e [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{t}{2}$ [/mm] in die Ausgangsgleichung [mm] $f_t(x) [/mm] \ = \ [mm] x^2+t*x+t$ [/mm] ein:
[mm] $$y_e [/mm] \ = \ [mm] f_t(x_e) [/mm] \ = \ [mm] f_t\left(\red{-\bruch{t}{2}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(\red{-\bruch{t}{2}}\right)^2+t*\left(\red{-\bruch{t}{2}}\right)+t [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Di 25.09.2007 | | Autor: | krueemel |
Vielen Lieben Dank Roadrunner.
Letztendlich gar nich so schwer ;)
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