Ortskurve wieder Aufgabe < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 14.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
| Aufgabe | Hallo ich muss von folgender Übertragungsfunktion die Ortskurve zeichnen , wie gehe ich vor bei diesem Nenner ?
G(s) = [mm] 5/(s+1)^4
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir wieder tipps geben . |
Ich habe die frage nicht gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Mo 15.06.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo ich muss von folgender Übertragungsfunktion die
> Ortskurve zeichnen , wie gehe ich vor bei diesem Nenner ?
>
>
>
> G(s) = [mm]5/(s+1)^4[/mm]
>
> Ich hoffe ihr könnt mir wieder tipps geben .
> Ich habe die frage nicht gestellt.
Wo genau liegt jetzt dein Problem?
Mach genau dasselbe wie dir bei deiner vorherigen Frage geraten wurde.
Du hast eine vierfache Polstelle, deine Ortskurve geht durch vier Quadranten.
Setz für [mm] s=j*\omega [/mm] und trenne in Real- und Imaginärteil.
Wenn du [mm] $\omega=0$ [/mm] einsetzt, erhältst du den "Anfangspunkt" $5+0j$. Für [mm] $\omega \rightarrow \infty$ [/mm] siehst du, dass die Ortkurve gegen 0+0j strebt.
Und für den Rest (Umlaufsinn, etc.) holst du dir für ein paar ausgesuchte Werte von [mm] \omega [/mm] eben noch ein paar Punkte. Im anderen Thread wurde dir ja zB geraten, dafür die weiteren Schnittpunkte mit reeller und Imaginärachse zu wählen, hier also für [mm] $\omega=1$ [/mm] und [mm] $\omega=\sqrt{2}\pm1$
[/mm]
Wie man bei der Resonanzfrequenz 1 sieht (G(1j)=-5/4<-1) scheint es sich hier um einen instabilen Oszillator zu handeln.
Gruß RMix
P.S.: Warum suchst du dir nicht Rechnerunterstützung um deine Ergebnisse zu überprüfen und die Kurve zeichnen zu lassen?
[mm] $G(j\omega)$ [/mm] sollte, denke ich, ja sogar Online Wolfram Alpha zusammenbringen.
![[]](/images/popup.gif) --> Wolfram
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
> > Hallo ich muss von folgender Übertragungsfunktion die
> > Ortskurve zeichnen , wie gehe ich vor bei diesem Nenner ?
> >
> >
> >
> > G(jw) = [mm]5/(s+1)^4[/mm]
> >
> > Ich hoffe ihr könnt mir wieder tipps geben .
Soll ich das im Nenner alles komplett ausmultiplizieren ?
> > Ich habe die frage nicht gestellt.
>
> Wo genau liegt jetzt dein Problem?
> Mach genau dasselbe wie dir bei deiner vorherigen Frage
> geraten wurde.
> Du hast eine vierfache Polstelle, deine Ortskurve geht
> durch vier Quadranten.
> Setz für [mm]s=j*\omega[/mm] und trenne in Real- und
> Imaginärteil.
> Wenn du [mm]\omega=0[/mm] einsetzt, erhältst du den "Anfangspunkt"
> [mm]5+0j[/mm]. Für [mm]\omega \rightarrow \infty[/mm] siehst du, dass die
> Ortkurve gegen 0+0j strebt.
> Und für den Rest (Umlaufsinn, etc.) holst du dir für ein
> paar ausgesuchte Werte von [mm]\omega[/mm] eben noch ein paar
> Punkte. Im anderen Thread wurde dir ja zB geraten, dafür
> die weiteren Schnittpunkte mit reeller und Imaginärachse
> zu wählen, hier also für [mm]\omega=1[/mm] und
> [mm]\omega=\sqrt{2}\pm1[/mm]
>
> Wie man bei der Resonanzfrequenz 1 sieht (G(1j)=-5/4<-1)
> scheint es sich hier um einen instabilen Oszillator zu
> handeln.
>
> Gruß RMix
>
> P.S.: Warum suchst du dir nicht Rechnerunterstützung um
> deine Ergebnisse zu überprüfen und die Kurve zeichnen zu
> lassen?
> [mm]G(j\omega)[/mm] sollte, denke ich, ja sogar Online Wolfram
> Alpha zusammenbringen.
>
> --> Wolfram
>
>
G(jw) = [mm] \bruch{5}{(jw+1)*(jw+1)*(jw+1)*(jw+1)}
[/mm]
Soll ich den Nenner jetzt ausmultiplizieren ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mo 15.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Das Verfahren kennst Du. Also weißt Du, dass Du den Bruch mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitern wirst.
In welcher Reihenfolge Du rechnest, ist Deine Wahl. Für mich wäre entscheidend, bei welchem Weg der Rechenaufwand erträglicher bleibt. Du kannst nun also ausmultiplizieren und dann mit dem komplex Konjugierten erweitern. DU kannst auch erst mit dem komplex Konjugierten erweitern und dann schauen wie es weiter geht. Schau Dir mal beide Wege an und entscheide dann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
ich habe den Bruch komplett ausmultipliziert und das stehen :
G(jw) [mm] =\bruch{5}{w^4-2jw^3-4w^2+2w^3-2jw^2+4jw+1}
[/mm]
Wie kriege ich das j im nenner jetzt nur weg ?
Um Real und Imaginär zu machen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mo 15.06.2015 | | Autor: | chrisno |
So wie bei dem vorigen Mal: Mit dem komplex Konjugierten erweitern.
Ich erhalte beim Ausmultiplizieren etwas anderes. Bei den [mm] $\omega^3$ [/mm] und den [mm] $\omega^2$ [/mm] Termen hast Du j zu viel oder zu wenig. Am Ende wird es etwas einfacher. Tipp: nimm das Pascalsche Dreieck zur Hilfe.
Weiterhin: Vergleiche vor dem Rechnen den Aufwand beider Wege.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
Der rechenaufwand war immens aber ok:
ausmultipliziert:
G(jw)= [mm] \bruch{5*(w^4+4jw^3-6w^2-4jw+1)}{w^4-4jw^3-6w^2+4jw+1*(w^4+4jw^3-6w^2-4jw+1)} [/mm]
Realteil:
RE G(jw) = [mm] \bruch{5w^4-30w^2+5}{w^8+4w^6+18w^4-8w^2+1} [/mm]
IM G(jw) = [mm] \bruch{20jw^3-20jw}{w^8+4w^6+18w^4-8w^2+1} [/mm]
Ich hoffe fehlerfrei ?
Den Realteil gegen 0 gesetzt ergibt 5
Den Imaginärteil gegen 0 ergibt 0?
Bin mir da nicht sicher ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Di 16.06.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Der rechenaufwand war immens aber ok:
chrisno hat ja indirekt mehrmals versucht, dich davon abzuhalten, den Nenner gleich auszumultiplizieren. Du solltest den Aufwand vorher abschätzen, was du offenbar nicht getan hast.
Es wäre sicher einfacher gegangen, hättest du den Bruch mit [mm] $(-j\omega+1)^4 [/mm] erweitert und hättest dann nur im Zähler ausmultipliziert.
>
> ausmultipliziert:
>
> G(jw)=
> [mm]\bruch{5*(w^4+4jw^3-6w^2-4jw+1)}{w^4-4jw^3-6w^2+4jw+1*(w^4+4jw^3-6w^2-4jw+1)}[/mm]
>
> Realteil:
>
> RE G(jw) = [mm]\bruch{5w^4-30w^2+5}{w^8+4w^6+18w^4-8w^2+1}[/mm]
>
> IM G(jw) = [mm]\bruch{20jw^3-20jw}{w^8+4w^6+18w^4-8w^2+1}[/mm]
>
> Ich hoffe fehlerfrei ?
Die Zähler sind richtig, aber der Nenner von Real- und Imaginärteil ist falsch. Du musst ja nur mit dem Ergebnis bei Wolfram vergleichen.
Der Zähler sollte jeweils [mm] $(\omega^2+1)^4$ [/mm] sein. Du hast im Nenner um 12 [mm] \omega^4 [/mm] zu viel und um 12 [mm] \omega^2 [/mm] zu wenig, hast dich also offenbar einmal mit den Hochzahlen geirrt.
> Den Realteil gegen 0 gesetzt ergibt 5
Was soll diese Formulierung. Das ist Quatsch. Und was soll heißen "ergibt 5". Was ergibt 5? [mm] G(j\omega)? [/mm] Das kann ja wohl nicht sein. Wenn der Realteil 0 ist, kann er ja wohl nicht gleichzeitig 5 sein.
Wenn du G(0)=5 meinst, dann schreib das doch auch so hin! Denn dann ist eben [mm] \omega=0 [/mm] und nicht der Realteil!
Aber setz den Realteil doch Null. Du erhältst zwei positive Werte für [mm] \omega [/mm] und wenn du die in G() einsetzt, dann bekommst du die Schnittpunkte der Ortskurve mit der Imaginärachse raus. Wurde dir in dem anderen Thread ja auch schon geraten.
>
> Den Imaginärteil gegen 0 ergibt 0?
0 wofür? Was soll das bedeuten? Wenn der Imaginärteil 0 ist, dann ist der Realteil entweder 5 oder -5/4.
Du musst schwer an deiner Ausdrucksweise arbeiten und präziser formulieren!
>
> Bin mir da nicht sicher ?
Zu Recht!
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:29 Di 16.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
IM = 0
[mm] 20w^3-20w [/mm] = 0
w1 = 0
w2 =1
w3 = -1
eingesetzt in Realteil :
-1,25 für w2
und w3 .
Wie kann ich genau den Realteil nullstellen ?
Ist schwer ,da es Polynom 4 Grades ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 Di 16.06.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Wie kann ich genau den Realteil nullstellen ?
>
> Ist schwer ,da es Polynom 4 Grades ist.
>
ja, aber nur biquadratisch, d.h. es kommen nur Hochzahlen vor, die ein Vielfaches von 2 sind. Das kannst du die Sache mit der Substitution [mm] u=\omega^2 [/mm] auf eine gewöhnliche quadratische Gleichung runterbiegen. Interessant dabei sind nur positive Lösungen für u und dann auch nur positive Lösungen für [mm] \omega. [/mm] Diese (beiden) dann in den Imaginärteil einsetzen und fertig.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:17 Di 16.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
> > Wie kann ich genau den Realteil nullstellen ?
> >
> > Ist schwer ,da es Polynom 4 Grades ist.
> >
>
> ja, aber nur biquadratisch, d.h. es kommen nur Hochzahlen
> vor, die ein Vielfaches von 2 sind. Das kannst du die Sache
> mit der Substitution [mm]u=\omega^2[/mm] auf eine gewöhnliche
> quadratische Gleichung runterbiegen. Interessant dabei sind
> nur positive Lösungen für u und dann auch nur positive
> Lösungen für [mm]\omega.[/mm] Diese (beiden) dann in den
> Imaginärteil einsetzen und fertig.
>
> Gruß RMix
>
Die biquadratischen die ich berechnet hatte sind 5,8 und 0.2.
Was soll ich mit denen jetzt machen ?
Eigentlich müssten es doch 4 sein oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Di 16.06.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Die biquadratischen die ich berechnet hatte sind 5,8 und
> 0.2.
?????? Wovon sprichst du? Von einer einzelnen Zahl kann man doch nicht sagen, dass sie biquadratisch ist. Was hast du da berechenet? Nenne es beim korrekten Namen?
>
> Was soll ich mit denen jetzt machen ?
mit "denen" ???
>
> Eigentlich müssten es doch 4 sein oder ?
Warum glaubst du, dass da irgendwo 4 rauskommen soll? Und bei welcher Rechnung?
Sorry, deine Formulierungen sind für mich leider unverständlich.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Di 16.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
>
> > Die biquadratischen die ich berechnet hatte sind 5,8 und
> > 0.2.
> ?????? Wovon sprichst du? Von einer einzelnen Zahl kann
> man doch nicht sagen, dass sie biquadratisch ist. Was hast
> du da berechenet? Nenne es beim korrekten Namen?
>
> >
> > Was soll ich mit denen jetzt machen ?
> mit "denen" ???
> >
> > Eigentlich müssten es doch 4 sein oder ?
> Warum glaubst du, dass da irgendwo 4 rauskommen soll? Und
> bei welcher Rechnung?
>
> Sorry, deine Formulierungen sind für mich leider
> unverständlich.
>
>
Zähler realteil :
[mm] 5w^4-30w^2+5 [/mm] = 0
[mm] w^4 [/mm] = [mm] z^2
[/mm]
[mm] z^2 [/mm] -6z+1 = 0
z1 = 5.8
z2 = 0.2
So meinte ich das ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Di 16.06.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Zähler realteil :
>
> [mm]5w^4-30w^2+5[/mm] = 0
>
> [mm]w^4[/mm] = [mm]z^2[/mm]
>
> [mm]z^2[/mm] -6z+1 = 0
>
> z1 = 5.8
> z2 = 0.2
>
> So meinte ich das ?
>
[mm] $z_{1,2}=3\pm2\cdot\sqrt{2}$
[/mm]
[mm] $z_1\approx [/mm] 5,83$
etc. wäre netter.
Aber das sind ja nur die Lösungen für deine Substitutionsvariable z (die Namenswahl war hier vielleicht nicht sehr glücklich!).
Die Lösungen für [mm] \omega [/mm] sind eben die Wurzeln aus diesen Werten und zwar mit positivem und negativem Vorzeichen und schon hast du die vier Lösungen für [mm] \omega, [/mm] die dir offenbar abgegangen sind. Wir können uns aber nur positive Kreisfrequenzen erwärmen und daher bleiben zwei brauchbare Werte für [mm] \omega [/mm] übrig.
Wenn wir die nun in [mm] G(j\omega) [/mm] einsetzen stellt sich zwangsläufig der Realteil Null ein (so haben wir die Werte ja gefunden) und die Imaginärteile sind zu berechnen und die entsprechenden Ortskurven-Punkte in der Zeichnung einzutragen.
Wenn du jetzt nach aufsteigenden Werten von [mm] \omega [/mm] ordnest, beginnst du bei 5+0j, dann 0-3.64j, -1.25+0j und 0+0.11j. Zum Schluss strebt die Kurve wegen [mm] $\lim_{\omega\rightarrow\infty}G(j\omega)=0$ [/mm] gegen den Ursprung.
Das sollte für eine grobe Skizze und oberflächliche Beurteilung der Schaltung ausreichen.
Gruß RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 16.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
> > Zähler realteil :
> >
> > [mm]5w^4-30w^2+5[/mm] = 0
> >
> > [mm]w^4[/mm] = [mm]z^2[/mm]
> >
> > [mm]z^2[/mm] -6z+1 = 0
> >
> > z1 = 5.8
> > z2 = 0.2
> >
> > So meinte ich das ?
> >
>
> [mm]z_{1,2}=3\pm2\cdot\sqrt{2}[/mm]
> [mm]z_1\approx 5,83[/mm]
> etc. wäre netter.
>
> Aber das sind ja nur die Lösungen für deine
> Substitutionsvariable z (die Namenswahl war hier vielleicht
> nicht sehr glücklich!).
>
> Die Lösungen für [mm]\omega[/mm] sind eben die Wurzeln aus diesen
> Werten und zwar mit positivem und negativem Vorzeichen und
> schon hast du die vier Lösungen für [mm]\omega,[/mm] die dir
> offenbar abgegangen sind. Wir können uns aber nur positive
> Kreisfrequenzen erwärmen und daher bleiben zwei brauchbare
> Werte für [mm]\omega[/mm] übrig.
> Wenn wir die nun in [mm]G(j\omega)[/mm] einsetzen stellt sich
> zwangsläufig der Realteil Null ein (so haben wir die Werte
> ja gefunden) und die Imaginärteile sind zu berechnen und
> die entsprechenden Ortskurven-Punkte in der Zeichnung
> einzutragen.
>
> Wenn du jetzt nach aufsteigenden Werten von [mm]\omega[/mm] ordnest,
> beginnst du bei 5+0j, dann 0-3.64j, -1.25+0j und 0+0.11j.
> Zum Schluss strebt die Kurve wegen
> [mm]\lim_{\omega\rightarrow\infty}G(j\omega)=0[/mm] gegen den
> Ursprung.
> Das sollte für eine grobe Skizze und oberflächliche
> Beurteilung der Schaltung ausreichen.
>
> Gruß RMix
>
>
Von welchen Werten soll ich genau die Wurzel ziehen ?
Von 0.2 und 5.8?
Das wären die restlichen zwei?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 16.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Du hast so begonnen:
>
> [mm]5w^4-30w^2+5[/mm] = 0
>
> [mm]w^4[/mm] = [mm]z^2[/mm]
>
> [mm]z^2[/mm] -6z+1 = 0
>
und hast nun [mm]z_{1,2}=3\pm2\cdot\sqrt{2}[/mm]
Das sind zwei Werte für z. Du bist aber nicht auf der Suche nach Werten für z. Das ist nur ein Zwischenschritt. Du willst doch wissen, für welche [mm] $\omega$ [/mm] der Term Null wird. Also
musst Du vom z zu [mm] $\omega$ [/mm] kommen.
[mm]w^4 = z^2[/mm] ist die Verbindung. Nur musst Du aufpassen, dass Du auch alle [mm] $\omega$ [/mm] erwischst, für die diese Gleichung gilt. Wenn [mm] $z^2 [/mm] = 16$, dann passen [mm] $\omega [/mm] = 2$ und auch [mm] $\omega [/mm] = -2$. So werden aus den zwei Lösungen für z vier Lösungen für [mm] $\omega$, [/mm] die Du Dir anschauen musst.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Di 16.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
z1 = 5.8
z2 = 0.2
z = [mm] w^2
[/mm]
also von beiden Termen Wurzel ziehen :
w1 = 2.4
w2 = 0.45
Das sind die Werte also?
habe ich das richtig verstanden ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Di 16.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Du musst nur kurz erklären, warum Du zwei Lösungen weg lässt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Di 16.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
Welche zwei Lösungen meinst du?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Di 16.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Dass die negativen Lösungen für [mm] $\omega$ [/mm] ignoriert werden, muss nur einmal erwähnt werden. Das hat rmix22 schon geschrieben. Nun geht es weiter, aus einer anderen Antwort von rmix22:
"Wenn wir die nun in $ [mm] G(j\omega) [/mm] $ einsetzen stellt sich zwangsläufig der Realteil Null ein (so haben wir die Werte ja gefunden) und die Imaginärteile sind zu berechnen und die entsprechenden Ortskurven-Punkte in der Zeichnung einzutragen."
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Di 16.06.2015 | | Autor: | rmix22 |
> z1 = 5.8
> z2 = 0.2
>
> z = [mm]w^2[/mm]
>
> also von beiden Termen Wurzel ziehen :
>
> w1 = 2.4
>
> w2 = 0.45
>
> Das sind die Werte also?
Und schon kommt es zu bösen Rundungsfehlern wegen des Weiterrechnens mit gerundeten, ungenauen Werten. Sowohl chrisno, als auch ich haben dir doch die genauen Werte angegeben.
Es ist hier
[mm] $\omega_1=\sqrt [/mm] 2 [mm] +1\approx [/mm] 2,4142 $
und
[mm] $\omega_2=\sqrt [/mm] 2 [mm] -1\approx [/mm] 0,4142$ (beachte den Unterschied zu deinem Ergebnis)
Was chrisno eben gemeint hat ist:
[mm] $x^2=9\Rightarrow x_1=+\sqrt [/mm] 9=3$, aber eben auch [mm] $x_2=-\sqrt [/mm] 9=-3$.
Wenn du Lösungen (hier korrekterweise) vernachlässigst, solltest du in der Rechendokumentation kurz erläutern, warum du das machst.
R
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 16.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
> > z1 = 5.8
> > z2 = 0.2
> >
> > z = [mm]w^2[/mm]
> >
> > also von beiden Termen Wurzel ziehen :
> >
> > w1 = 2.4
> >
> > w2 = 0.45
> >
> > Das sind die Werte also?
>
> Und schon kommt es zu bösen Rundungsfehlern wegen des
> Weiterrechnens mit gerundeten, ungenauen Werten. Sowohl
> chrisno, als auch ich haben dir doch die genauen Werte
> angegeben.
>
> Es ist hier
> [mm]\omega_1=\sqrt 2 +1\approx 2,4142[/mm]
> und
> [mm]\omega_2=\sqrt 2 -1\approx 0,4142[/mm] (beachte den
> Unterschied zu deinem Ergebnis)
>
> Was chrisno eben gemeint hat ist:
>
> [mm]x^2=9\Rightarrow x_1=+\sqrt 9=3[/mm], aber eben auch [mm]x_2=-\sqrt 9=-3[/mm].
>
> Wenn du Lösungen (hier korrekterweise) vernachlässigst,
> solltest du in der Rechendokumentation kurz erläutern,
> warum du das machst.
>
> R
>
>
>
Ich verstehe gerade nicht woher die 9 her kommt ?
Tut mir leid?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Di 16.06.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Ich verstehe gerade nicht woher die 9 her kommt ?
>
Das war nur ein, von deiner Aufgabe vollkommen unabhängiges, Beispiel, welches dir klar machen sollte, dass die Gleichung [mm] x^2=irgendwas [/mm] zwei Lösungen hat.
Also dass auch zB die Gleichung (und jetzt sind wir wieder bei deiner Aufgabe) [mm] $\omega^2=3+2*\sqrt 2\approx5,8284$ [/mm] aus mathematischer Sicht nicht nur die Lösung [mm] $\omega_{1_1}\approx [/mm] 2,4142$ hat, sondern auch die Lösung [mm] $\omega_{1_2}\approx [/mm] -2,4142$. Ich hab jetzt schon den Verdacht, dass du diese nicht absichtlich und bewusst ignoriert hast.
R
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Di 16.06.2015 | | Autor: | Lan21 |
> > Ich verstehe gerade nicht woher die 9 her kommt ?
> >
>
> Das war nur ein, von deiner Aufgabe vollkommen
> unabhängiges, Beispiel, welches dir klar machen sollte,
> dass die Gleichung [mm]x^2=irgendwas[/mm] zwei Lösungen hat.
>
> Also dass auch zB die Gleichung (und jetzt sind wir wieder
> bei deiner Aufgabe) [mm]\omega^2=3+2*\sqrt 2\approx5,8284[/mm] aus
> mathematischer Sicht nicht nur die Lösung
> [mm]\omega_{1_1}\approx 2,4142[/mm] hat, sondern auch die Lösung
> [mm]\omega_{1_2}\approx -2,4142[/mm]. Ich hab jetzt schon den
> Verdacht, dass du diese nicht absichtlich und bewusst
> ignoriert hast.
>
> R
Ok danke .
Jetzt verstehe ich es endlich was ihr gemeint habt
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