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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Arnie09 |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion, auf deren Graphen alle lokalen Extrempunkte der Funktion [mm] f_{k}(x)=\bruch{x}{k} [/mm] * [mm] \wurzel{k²-x} [/mm] (k>0) liegen. |
Hallo,
ich bin bei der Aufgabe bei der Ableitung der Funktion stecken geblieben, finde allerdings meinen Denkfehler nicht :(. Könntet ihr mir vielleicht helfen??
[mm] f_{k}(x)=\bruch{x}{k} [/mm] * [mm] \wurzel{k²-x}
[/mm]
[mm] f'_{k}(x)=\bruch{1}{k}*\wurzel{k²-x} [/mm] + [mm] \bruch{x}{k} [/mm] * [mm] \left( - \bruch{1}{2\wurzel{k²-x}} \right)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{k²-x}*\wurzel{k²-x}}{\wurzel{k²-x}}-\bruch{x}{2*k*\wurzel{k²-x}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{k*\wurzel{k²-x}} [/mm] * [mm] ((k²-x)²-\bruch{x}{2})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{k*\wurzel{k²-x}}*\bruch{(k²-x)²*2-x}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{(k²-x)²*2-x}{2k*\wurzel{k²-x}}
[/mm]
Beim ersten Versuch hatte ich aus bei der inneren Ableitung der Wurzel statt eine -1 ein k²-1 herausgezogen, weshalb ich k nicht durch x ausdrücken konnte. Herauskommen soll bei der kompletten Ableitung [mm] f'_{k}(x)=\bruch{2k²-3x}{2k*\wurzel{k²-x}}. [/mm] Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben, wie ich auf den Zähler komme? Kürzen kann ich die Wurzel nicht wegen -x und beim Ausklammern bekomme ich [mm] 2*k^{4}-4*k²x+2x²-x, [/mm] was auch nicht wirklich so viel besser scheint.
Auf jeden Fall aber schon mal danke im voraus!
Liebe Grüße,
Arnie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Arnie09,
> Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion, auf deren
> Graphen alle lokalen Extrempunkte der Funktion
> [mm]f_{k}(x)=\bruch{x}{k}[/mm] * [mm]\wurzel{k²-x}[/mm] (k>0) liegen.
> Hallo,
>
> ich bin bei der Aufgabe bei der Ableitung der Funktion
> stecken geblieben, finde allerdings meinen Denkfehler nicht
> :(. Könntet ihr mir vielleicht helfen??
>
> [mm]f_{k}(x)=\bruch{x}{k}[/mm] * [mm]\wurzel{k²-x}[/mm]
> [mm]f'_{k}(x)=\bruch{1}{k}*\wurzel{k²-x}[/mm] + [mm]\bruch{x}{k}[/mm] *
> [mm]\left( - \bruch{1}{2\wurzel{k²-x}} \right)[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{k}[/mm]
> *
> [mm]\bruch{\wurzel{k²-x}*\wurzel{k²-x}}{\wurzel{k²-x}}-\bruch{x}{2*k*\wurzel{k²-x}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{k*\wurzel{k²-x}}[/mm] * [mm]((k²-x)²-\bruch{x}{2})[/mm]
Hier muß es doch heißen:
[mm]\bruch{1}{k*\wurzel{k²-x}}[/mm] * [mm](\blue{(k²-x)}-\bruch{x}{2})[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{k*\wurzel{k²-x}}*\bruch{(k²-x)²*2-x}{2}[/mm]
> [mm]=\bruch{(k²-x)²*2-x}{2k*\wurzel{k²-x}}[/mm]
>
> Beim ersten Versuch hatte ich aus bei der inneren Ableitung
> der Wurzel statt eine -1 ein k²-1 herausgezogen, weshalb
> ich k nicht durch x ausdrücken konnte. Herauskommen soll
> bei der kompletten Ableitung
> [mm]f'_{k}(x)=\bruch{2k²-3x}{2k*\wurzel{k²-x}}.[/mm] Kann mir jemand
> vielleicht einen Tipp geben, wie ich auf den Zähler komme?
> Kürzen kann ich die Wurzel nicht wegen -x und beim
> Ausklammern bekomme ich [mm]2*k^{4}-4*k²x+2x²-x,[/mm] was auch nicht
> wirklich so viel besser scheint.
>
> Auf jeden Fall aber schon mal danke im voraus!
>
> Liebe Grüße,
> Arnie
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Arnie09 |
Danke ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Die Ortskurve stimmt ebenfalls mit [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}}k.
[/mm]
Gruß, Arnie
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