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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:31 Mo 24.05.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Finden Sie eine Orthonornalbasis des folgenden linearen Teilraums von $\ [mm] \IR^3 [/mm] $ mit Standardskalarprodukt:
$\ U := [mm] \{ (x_1,x_2,x_3)^T : x_1+x_2+x_3 = 0\} [/mm] $ |
Hallo,
ich habe hier zunächst das Gleichungssystem gelöst:
$\ [mm] x_1+x_2+x_3 [/mm] = 0 $
$\ [mm] x_2 [/mm] = s, \ [mm] x_3 [/mm] = t $ und $\ [mm] x_1 [/mm] = [mm] -x_2-x_3 [/mm] = -s-t $
Also
$\ [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ \IR \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} + \IR \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} \} [/mm] $
So, nun bin ich mir allerdings nicht sicher, was mir die Lösungsmenge alles an Informationen schenkt. Dazu ein paar grundsätzliche Fragen: Ist die Lösungsmenge denn eine Basis von $\ U $ ? Demnach wäre dim $\ U = 2 $. Doch die beiden Vektoren sind offensichtlich nicht orthogonal.
Falls die Dimension allerdings nicht 2, sondern 3 ist und mir das Gleichungssystem lediglich 2 linear unabhängige Vektoren ausgespuckt hat, kann ich ja durch einen 3. geeigneten Vektor das ganze zu einer (Orthonormal)basis erweitern.
Würde mich über Hinweise freuen.
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Mo 24.05.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Moin,
ich sehe gerade, dass das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren die Antwort auf meine Frage ist.
Danke
Viele Grüße
ChopSuey
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