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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Di 05.10.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | | Bestimme eine Orthonormalbasis B' von V aus lauter Eigenvektoren von [mm] \phi. [/mm] |
meine Eigenvektoren sind [mm] v_{1}=\vektor{1\\0\\1} v_{2}=\vektor{0\\1\\0} v_{3}=\vektor{1\\0\\-1}
[/mm]
ich habe sie nach Schmidt orthonormiert
[mm] v_{1}'=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\0\\1} [/mm]
[mm] v_{2}'=\vektor{0\\1\\0} [/mm]
[mm] v_{3}'=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\0\\-1}
[/mm]
mir ist am ende aber aufgefallen dass ich die Vektoren einfach nur normieren hätte müssen.
Woran seh ich denn dass ich nur normieren muss? Stehen Eigenvektoren immer orthogonal zueinander ?
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Hallo Ayame,
> Bestimme eine Orthonormalbasis B' von V aus lauter
> Eigenvektoren von [mm]\phi.[/mm]
> meine Eigenvektoren sind [mm]v_{1}=\vektor{1\\
0\\
1} v_{2}=\vektor{0\\
1\\
0} v_{3}=\vektor{1\\
0\\
-1}[/mm]
>
> ich habe sie nach Schmidt orthonormiert
>
> [mm]v_{1}'=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\
0\\
1}[/mm]
> [mm]v_{2}'=\vektor{0\\
1\\
0}[/mm]
> [mm]v_{3}'=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\
0\\
-1}[/mm]
>
> mir ist am ende aber aufgefallen dass ich die Vektoren
> einfach nur normieren hätte müssen.
>
> Woran seh ich denn dass ich nur normieren muss? Stehen
> Eigenvektoren immer orthogonal zueinander ?
Nein, eher in den seltensten Fällen.
War die Ausgangsmatrix etwa symmetrisch?
Für symmetrische Matrizen sind nämlich Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Di 05.10.2010 | | Autor: | Ayame |
Ja die Matrix war symmetrisch.
Ich hatte zwei Eigenwerte: 0 und 2.
char Polynom : [mm] -t(t-2)^{2}
[/mm]
Die zwei Eigenvektoren zum Eigenwert 2 sind ja auch orthogonal zueinander. Und da die Matrix symmetrisch ist sind diese beiden Eigenvektoren automatisch orthogonal zum Eigenvektor zum Eigenwert 0.
Toll, dann muss ich wirklich nur noch normieren.
Ich hätte da noch eine Frage :
Ich weiß wie man die Ebene zu einer Drehung (Drehachse) ermittelt.
Aber wie kann ich herausfinden an welcher Ebene gespiegelt wird ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Mi 06.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
spieglungsebene wird durch die vektoren aufgespannt, wo in der diagonalen eine +1 steht. Also z.B [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] hat die Spiegelungsebene [mm] {e_{1},e_{3}}
[/mm]
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> Ja die Matrix war symmetrisch.
> Ich hatte zwei Eigenwerte: 0 und 2.
> char Polynom : [mm]-t(t-2)^{2}[/mm]
>
> Die zwei Eigenvektoren zum Eigenwert 2 sind ja auch
> orthogonal zueinander.
Hallo,
das ist aber ein glücklicher Zufall und kein Automatismus - dies nur zur Sicherheit. Es hätte auch passieren können, daß Du eine nichtorthogonale Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2 findest.
> Und da die Matrix symmetrisch ist
> sind diese beiden Eigenvektoren automatisch orthogonal zum
> Eigenvektor zum Eigenwert 0.
Ja.
>
> Toll, dann muss ich wirklich nur noch normieren.
>
> Ich hätte da noch eine Frage :
>
> Ich weiß wie man die Ebene zu einer Drehung (Drehachse)
> ermittelt.
> Aber wie kann ich herausfinden an welcher Ebene gespiegelt
> wird ?
Bei einer Spiegelung im [mm] \IR^3 [/mm] ist der 2-dimensionale Eigenraum zum Eigenwert 1 die Spiegelebene.
Gruß v. Angela
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